loading第三届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（小学组）
参考答案及评分标准
说明：本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。
1.如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，
则我+爱+启+智+杯= 或 。写出你的推算过程。
杯 智 杯 启 智 杯 爱 启 智 杯 + 爱 启 智 杯 我 爱 启 智 杯
参考答案：25或29
五个杯字之和的个位数为杯，说明 杯 = 0或5（进2）；
若杯=0，则四个智字之和的个位数为智，智=0；从而三个启字之和的个位数为启，启=0；两个爱字之和的个位为爱，进位为我，无解。 因此，杯=5（进2），由此推出智字之和加2的个位数为智，智=6（进2）；三个启字之和加2的个位数为启，启=4（进1）或9（进2），进而得知爱等于9或8，而我=1. 因此：我爱启智杯 = 19465或18965，而我+爱+启+智+杯=25或29
评分标准：
只写出正确答案而未加说明，给5分； 基本思路正确，而答案错误，给5分； 答案写成19365或18965给8分。 其他情况酌情给分。
2. 有三个封口的袋子，里面都装着同样重量和大小的小球，A袋子内装着红球，B袋子内装着白球，C袋子内混合装着红球和白球。三个袋子分别贴有“红色”、“白色”、“混合色”的标签，可惜每一个标签都与袋子中球的实际颜色不符。现在允许你只打开一个袋子，从中摸出一球（不准看袋子里面），看着这个球的颜色，你能立刻为三个袋子贴上正确标签吗？请说明你的具体操作方法。
参考答案：打开“混合色”标签的袋子
由于三个袋子都标错了标签，所以三种标签构成一种“轮换”，不会出现“对换”。
打开“混合色”标签的袋子，由于依据假设，该袋子内必然是单色的，若拿出的是红色球，则该袋子应该标注“红色”；而原来标注红色的必然是“白色”，白色标签的也就是混合色了。
若拿出的是白色球，则该袋子应该标注“白色”；而原来标注白色的必然是“红色”，红色标签的也就是混合色了。
评分标准：
只写出正确答案而未加说明，给5分；
分析正确，而说明不清晰或者不简练，给7分； 其他情况酌情给分。
第三届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（小学组） 第 1 页 共 7 页
3. 在6,9,15,19,21,27中,从不同的角度看，你会发现有一个与众不同的数,这个数是几？请你写出4个不同的答案,并说明理由. 参考答案：开放题，答案不唯一。可能的答案有： （1） 从3的倍数看，19是例外； （2） 从合数开，19是例外； （3） 从非平方数看，9是例外； （4） 从非5的倍数看，15是例外； （5） 从非立方数看，27是例外； （6） 从奇数看，6是例外
等等
评分标准：
写出4、3、2、1个正确答案并说明理由，分别给10、7、5、2分.
4. 观察下列等式：
12?231?132?21； 23?352?253?32； 35?583?385?53。
以上每个等式中的两边数字是分别对称的，且每个等式中的两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称式”。请根据上述各式反映的规律填空，使下述式子成为“数字对称式”。
（1） 62? = ?26；
（2） ?891?198? 。
说明你发现的规律：
参考答案：62? 286 = 682 ?26； 18 ?891?198? 81 。
这本质上是代数式 [10a+b][100b+10(a+b)+a] = [100a+10(b+a)+b][10b+a] 的具体表现。
表面上的规律是：左边两位数乘以三位数，三位数的百位和个位分别是两位数的个位和十位，而十位则是个位与百位之和；等式右端是三位数乘以两位数，顺序刚好与左端对称。
评分标准：
写对一个答案给2分； 写对两个答案给5分；
说明规律（不必上升到一般化）再给5分。
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5. 如图所示，在(?取3.14)
1圆内含有两个以半径为直径的半圆，求图中阴影部分的面积与空白处的面积之比。4参考答案：S阴影:S空白???22?0.57 对题图进行图形的旋转变换，可以得到图3所示的与题图等面积的图形，题图中阴影部分的面积等于图B中弓形面积。空白处的面积就是图B中直角三角形的面积。设AB?2，则S阴影?11???22??2?2???2； 24
第5题图
S空白?1??2?2?2?2；S阴影:S空白??0.57 22CCCD
AB
图A 图B
评分标准：
写出正确答案得5分；说明理由再得5分。
6. 如图所示，已知圆周上的五个点A、B、C、D、E依次间隔弧长为1、2、3、4厘米，而E和A之间的弧长为5厘米。有一根很长的直尺，该直尺上的整数长度处依次标上1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、……。现在将该圆放在直尺上，将点B放置在直尺标有0厘米的刻度处，让圆沿着直尺由左向右无滑动滚动前进。问在直尺的2012厘米处与圆周上对应的英文字母是 。说明你的推算过程。
第6题图略
参考答案： C
根据题意，一个圆周长为1+2+3+4+5=15厘米。2012 = 15?134 + 2. 将点B放置在直尺标有0厘米的刻度处，让圆沿着直尺由左向右无滑动滚动前进134周后B点到达2010厘米处，再滚动2厘米，C点对应2012厘米处。
评分标准：
写出正确答案给5分；说明理由再给5分。
基本思路正确，周期算错或者其他算错，给5-7分。
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7. 将数字2、3、5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和柱体B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说明你的理由。
第7题图
参考答案：
要点是通过局部信息、片段信息发现整体信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据是排除其相邻的数字，再综合使用其他信息。观察图A和B所示的两个柱体可知：
(1)因为与数字2相邻的四个面上的数字分别是3、5、8、9。所以数字2对面上的数字是11。 (2)因为与数字8相邻的四个面上的数字分别是3、2、11、9。所以数字8对面上的数字是5。
根据（1）、（2）可知：3对面的数字是9。 所以，A柱体表面（不含底面）点数之和 =(3?2?11?5?8)?(2?9?11?3)?(8?11?5?2)?80，
B柱体表面（不含底面）点数之和
=2?8?9?5?3?11?3?2?9?8?3?5?9?77，
??????评分标准：
思路正确得4分； 两个结论正确各得3分。
8．用相同大小的正六边形瓷砖来铺广场，按如图所示的方式来铺设，中间的正六边形瓷砖记为A，
定义它为第一层；在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二层；在第二层的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三层，…，按这种方式铺下去，当铺第15层时，用了 块瓷砖。写出你的规律。 参考答案：第15层用84块，或前14层用547块，或前 15层用631块. 理由：从第二层起，各层都是正六边形，其边长依次加1， 故各层小正六边形个数依次为
A 1, 6?2-6=6，6?3-6=12，6?4-6=18，…
当铺第15层时，第15层的铺砖数量为6?14.
A
第8题图
本题问题还可以有另外两种理解（有一定的歧义）： （1）当铺第15层时，已铺的14层总数为1 + 6 + 6?2 +6?3 +…+6?13 = 1+ 6?（1+2+…+13） = 547
（2）前15层用砖总数1 + 6 + 6?2 +6?3 +…+6?14 = 1+ 6?（1+2+…+14） = 631
评分标准：思路正确得4分；结论正确再得6分。只写出正确结论给5分。
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9. 本题分两个小问题，每题各5分。请分别写出解题过程。
（1）有三个连续的两位数，由小至大依次分别能被3、4、5整除，那么这三个数各是
几？
（2）三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13整除，那么，所有这样的三
个自然数组中，最小的一组是多少？
参考答案： （1）63,64,65；（2）609,610,611.
（1） 分别能被3、4、5整除的三个最小的连续整数为3、4、5；之后的连续整数若能分
别被3、4、5整除，则它们必然是3、4、5分别加上3、4、5的公倍数（60的倍数），两位数的只有63、64、65. （2） 若三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13整除，可分别设为n-1,n,n+1,
于是3（n-1）,3n,3（n+1）也分别能被7、10、13整除，从而3（n-1）-7,3n-10,3（n+1）-13也分别能被7、10、13整除，即3n-10同时能被7、10、13整除，即3n-10是7、10、13的公倍数。经检验，最小的一组满足3n-10 = 7?10?13?2 =1820，n=610.这三个数分别是609,610,611.
评分标准： 两问各得5分。
只写出两组正确答案，而没有过程的只给5分。
10. 如图所示， 在一块2cm?2cm的方格网板上钉了9颗铁钉。如果用线绳围成三角形，形状、大小
完全相同的算一类。问其中面积为1/2 cm2的三角形有几类？分别在图中画出一个。每类各有多少个不同位置的三角形？一共有多少个？
第10题图
参考答案：
（1）面积为1/2 cm2的三角形有两类：边长为1的等腰直角三角形，边长分别为1，2,5的
钝角三角形（图略）；
（2）有4?4=16个不同位置的边长为1的等腰直角三角形；有4?4=16个不同位置的边长分别为1，2,5的钝角三角形。一共有32个。
评分标准： 每步5分。
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