loading二○○五年全国高中数学联合竞赛试题
一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，
D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x?3?6?x≥k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6
????????????????????????2．空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 3．?ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后
ABCAA1?cos?BB1?cos?CC1?cos222 分别交此圆于A1、B1、C1。则
sinA?sinB?sinC的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，ABCD?A?B?C?D?为正方体。任作平面?与对角线AC? 垂直，使得?与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S，周长为l.则（ ）
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
x2y25.方程??1表示的曲线是（ ）
sin2?sin3cos2?cos3A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
a3a4aa??|ai?T,i?1,2,3,4},将M中的元6.记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{1?27727374素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
556355621104?2?3?4 B．?2?3?4C．?2?3?4 A．
7777777777771103D．?2?3?4
7777二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在
横线上。
7.将关于x的多项式f(x)?1?x?x2?x3???x19?x20表为关于y的多项式g(y)?
a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20,其中y?x?4.则a0?a1???a20?_____. 8.已知f(x)是定义在(0,??)上的减函数，若f(2a2?a?1)?f(3a2?4a?1)成立，则a的取值范围是_______
9.设?、?、?满足0???????2?，若对于
任意x?R,cos(x??)?cos(x??)?cos(x??)?0,则????___.
110.如图，四面体DABC的体积为，
6AC且满足?ACB?45?,AD?BC??3,则CD?___. 211.若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线y?x2上.则该正方形面积的最小值为 .
12.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,?,若an?2005,则a5n?_____. 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列{an}满足：a0?1,an?1?27an?45an?362证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。 14.将编号为1,2，?，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）.
15.过抛物线y?x2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴
AE??1;点F在线段BC上，满于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足ECBF??2，且?1??2?1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，足FC求点P的轨迹方程.
,n?N.
二○○五年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、（本题满分50分）
如图，在?ABC中，设AB?AC，过A作?ABC的外接圆的切线l.又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F.
证明：直线DE、DF分别通过?ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心） 二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足cy?bz?a;az?cx?b;bx?ay?c.
x2y2z2求函数f(x,y,z)?的最小值。 ??1?x1?y1?z 三、（本题满分50分）
0当n为平方数，??对每个正整数n,定义函数f(n)??[1]当n不为平方数。（其中[x]表示
?n???不超过x的最大整数，?x??x?[x]）。试求：?f(k)的值。
k?1240
二○○五年全国高中数学联合竞赛
加试试题参考答案及评分标准
说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2.如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 1.证明：（１）先证DE过?ABC的内心.如图，连DE、DC，作?BAC的平分线分别交DE于I、DC于G，G?DC，ID?IC.10连IC，则由AD?AC，得A1分又D、C、E在?A上，?A、??IAC??DAC??IEC，
2I、C、E四点共圆，??CIE??CAE??ABC，而
?CIE?2?ICD，??ICA?1?ABC.20分
211??AIC??IGC??ICG?90???ABC,??ACI??ACB.?I为?ABC的内心。30分22（2）再证DF过?ABC的一个旁心。
连FD并延长交?ABC的外角平分线于ＩBI，由（1）知，I１，连II1、BI、1为内心，??IBI1?90???EDI1,?D、B、I1、I四点共圆，
11??BII1??BDI1?90???ADI?(?BAC??ADG)??ADI??BAC??IDG,
22?A、I、I1共线。?I1是?ABC的BC边外的旁心，50分
2.解：由条件得，b(az?cx?b)?c(bx?ay?c)?a(cy?bz?a)?0，即
b2?c2?a2，同理，得a2?c2?b2a2?b2?c22bcx?a?b?c?0,?x?y?,z?.10分
2bc2ac2ab222?a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，
b2?c2?a2,a2?c2?b2,a2?b2?c2,故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角
形ABC，?x?cosA,y?cosB,z?cosC，问题转化为：在锐角?ABC中，求函数
cos2Acos2Bcos2C的最小值.20分令
f(cosA,cosB,cosC)???1?cosA1?cosB1?cosCu?cotA,v?cotB,w?cotC,则u,v,w?R?,uv?vw?wu?1,且u2?1?(u?v)(u?w), v2?1?(u?v)(v?w),w2?1?(u?w)(v?w).30分
?cosA?1?cosA1?22u2u?1u2?u2u2?1(u2?1?u)?u2(u2?1?u)u2?1?u2?u3u2?1u?12v311cos2Bu3u31122同理，?v?(?), ?u??u?(?),2u?vv?w1?cosB2u?vu?w(u?v)(u?w)cos2Cw3112?w?(?).40分
1?cosC2u?wv?w1u3?v3v3?w3u3?w31222?f?u?v?w?(??)?u2?v2?w2?[(u2?uv?v2)?(v2?vw2u?vv?wu?w2
11?w2)?(u2?uw?w2)]?(uv?vw?uw)?.50分2211a?b?c,x?y?z?),?[f(x,y,z)]min?. （取等号当且仅当u?v?w,此时，
221注：若考生直接令x?y?z,得答案f(x,y,z)min?,则只给10分。
23.解：对任意a、k?N?,若k2?a?(k?1)2,则1?a?k2?2k,设
a?k??,0???1,则
1?a?2?1??21a?k2k??2k????1，?[1]?[2k2].让a跑遍区间 222a?ka?ka?ka?ka?ka??2k(n?1)n2k(k,(k?1))中的所有整数，则?[1]??[2k]，于是?f(a)???[2k]①
iii?1a?1k?1i?1k2?a?(k?1)2?a?220分
2k]：画一张2k?2k的表，第i行中，凡是i的倍数处填写“*”ii?12k2k2k号，则这行的“*”号共[]个，全表的“*”号共?[]个；另一方面，按列
iii?1收集“*”号数：第j列中，若j有?(j)个正因数，则该列便有?(j)个“*”号，
下面计算?[2k故全表的“*”号个数共??(j)个，因此?[2k]???(j)。示例如下：
j?1i?12k2k2kij?1 j i 1 2 3 4 5 6 则
(n?1)21 * n2kk?1j?12 * * 3 * * 4 * * * 5 * * 6 * * * * ?a?1f(a)????(j)?n[?(1)??(2)]?(n?1)[?(3)??(4)]???[?(2n?1)??(2n)]??②
16215由此，?f(k)??(16?k)[?(2k?1)??(2k)]③ 30分
k?1k?1记ak??(2k?1)??(2k),k?1,2,?15,易得ak的取值情况如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 25615k?1k?113 7 14 10 15 10 因此，?f(k)??(16?k)ak?783④40分据定义f(256)?f(162)?0,又当
k??241,242,?255?，设k?152?r(16?r?30)，
k?15?152?r?15?rrr??，30152?r?1531152?r?15301?r?,256r?， 31??2r152?r1?240则[1]?1,k??241,242,?,255???⑤，从而?f(k)?783??f(k)?783?15?768.?50?k?k?1k?1分