loading排列组合基础知识
一、两大原理
1.加法原理
（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有n1中不同的方法，第二类方法中有n2种不同的方法。.。。。。第n类方法中nn种不同的方法，那么完成这件事共有N?n1?n2?...?nn种不同的方法.
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。 （3）特点：分成几类，就有几项相加。
例1。 从甲地到乙地，可以乘动车,也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?
如上图,从甲地到乙地共有3+2种方法.
2.乘法原理
（1）定义做一件事，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1中不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法。。....做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1m2...mn种不同的方法。
（2）本质:缺少任何一步均无法完成任务,每一步是不可缺少的环节. （3）特点：分成几步，就有几项相乘。
例2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？
解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车1 火车1—汽车2，火车2—汽车2 火车1—汽车3，火车2—汽车3 所以共有2?4?8种方式.
二、排列组合
1.排列
（1）排列的定义:从n个不同的元素中，任取m个（m?n)元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。 （2）使用排列的三条件 ①n个不同元素； ②任取m个; ③讲究顺序。
2.组合
（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个（m?n)元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。 （2）使用三条件
①n个不同元素； ②任取m个；
③并为一组,不讲顺序。
排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素\
排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关. 也就是说:组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。
3排列数的定义：从n个不同的元素中,任取m个（m?n）元素所有排列的个数，
m叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为An。
例1. 从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？
解:由上图可知，共有6种方式。
需要注意:此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列,所
2有共有的排列数为A32，即A3?6?3?2，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项3,而且之后的每项总是比前一项少1。
例2。 从a, b, c, d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能?
解 所以的可能排列为：ab, ba， ac, ca， ad， da，bc, cb， bd， db， cd，dc。
2共有12种，即A4?12?4?3，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1.
例3. 从a, b， c， d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？ 解 所以的可能排列为：abc, acb,bac，bca,cab, cba，
abd, adb， bad， bda, dab,dba， acd, adc， cad, cda， dac,dca。 bcd，bdc,cbd,cdb，dbc,dcb
3共有24种，即A4?24?4?3?2，其中上标3是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1
由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式
n!mAn?n(n?1)(n?2)....(n?m?1)?,其中上标m表示相乘的项数，
(n?m)!其中n!?n(n?1)???2?1。
01n尤其：An?1,An?n,An?n!。
5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（m?n）元素所有组合的个
m数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记为Cn. 例4。 从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？