loading思维特训角的运动问题
方法点津 ·
角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．
解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．
典题精练 · 类型一 角的折叠
1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；
(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．
图21－S－1
类型二 射线的旋转
2．如图21－S－2，∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．
(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°； (2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间； (3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间． 图21－S－2
3．如图21－S－3，∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.
(1)求∠COD的度数；
(2)假设以O为观察中心，OA为正东方向，那么射线OD的方向角是____________；
(3)假设∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，那么经过几秒，∠AOE＝42°？
图21－S－3 类型三 角的旋转
4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.
(1)求∠MON的度数；
(2)如图②，假设∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆
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时针旋转10秒，此时∠AOM＝11∠BON，如图③所示，求x的值．
图21－S－4
类型四 三角尺的旋转
5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．
(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；
(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)假设在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．
①当t＝________时，OM平分∠AOC?
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系． 图21－S－5
6．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．
(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，那么∠MOC＝________；
(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
图21－S－6 详解详析
1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，
所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.
(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°， 那么16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5， 所以∠MOC＝2.5°.
2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，
所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.
(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°. 如图①，那么4t＋t＝90－30，解得t＝12； 如图②，那么4t＋t＝90＋30，解得t＝24. 综上所述，旋转的时间是12秒或24秒． (3)如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD， 那么4m－90＝m，解得m＝30，
故旋转的时间是30秒．
3．解：(1)因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°， 所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°. 又因为OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，
所以∠AOC＝2∠AOB＝40°，
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∠AOD＝2∠AOE＝50°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝50°－40°＝10°. (2)由(1)知∠AOD＝50°，
所以射线OD的方向角为北偏东40°. (3)设经过x秒，∠AOE＝42°，那么 3x－5x＋100＝42或5x－(3x＋100)＝42， 解得x＝29或x＝71.
即经过29秒或71秒，∠AOE＝42°.
4．解：(1)因为∠AOB＝150°，∠COD＝30°，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，
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所以∠MON＝∠MOD＋∠NOC－∠COD＝2(∠AOD＋∠BOC)－∠COD＝
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2(∠AOB＋∠COD)－∠COD＝60°.
(2)由题意，得∠BOD＝105°－10x°，∠AOC＝15°＋10x°，
所以∠BOC＝135°－10x°，∠AOD＝45°＋10x°.
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又因为∠AOM＝11∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，
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所以∠AOD＝11∠BOC，
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即45°＋10x°＝11(135°－10x°)，解得x＝2.5. 5．解：(1)因为∠AOC＝45°，OM平分∠AOC，
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所以∠AOM＝2∠AOC＝22.5°， 所以t＝2.25.
因为∠MON＝90°，∠MOC＝22.5°，
所以∠NOC－∠AOM＝∠MON－∠MOC－∠AOM＝45°.故答案为2.25，45°.
(2)∠NOC－∠AOM＝45°.
理由：因为∠AON＝90°＋(10t)°，
所以∠NOC＝90°＋(10t)°－45°＝45°＋(10t)°. 因为∠AOM＝(10t)°， 所以∠NOC－∠AOM＝45°. (3)①如图，因为∠AOB＝(5t)°， 所以∠AOC＝45°＋(5t)°.
因为OM平分∠AOC，
所以∠AOM＝1
2∠AOC， 而∠AOM＝(10t)°，
所以10t＝1
2(45＋5t)， 解得t＝3.
②∠NOC－1
2∠AOM＝45°.
理由：因为∠AOB＝(5t)°，∠AOM＝(10t)°， ∠MON＝90°，∠BOC＝45°，
所以∠AON＝90°＋∠AOM＝90°＋(10t)°， ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(5t)°，
所以∠NOC＝∠AON－∠AOC＝90°＋(10t)°－45°－(5t)°＝45°，
所以∠NOC－错误!∠AOM＝45°.
6．解：(1)因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°， 所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°. (2)因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线， 所以∠MOB＝2∠BOC＝130°.
所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°. 所以∠CON＝∠BOC－∠BON＝65°－40°＝25°. (3)因为∠BOC＝65°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°. 因为∠MON＝90°，
(5t)°＋所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°. 又因为∠NOC＝∠AOM， 所以2∠NOC＝25°. 所以∠NOC＝12.5°.
所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.