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新人教版初中数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1．平面直角坐标系的有关知识
平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等. 2．函数的有关概念
求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法． 3．函数的图象和性质
常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置． 4．函数的解析式
求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值． 一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．
【知识网络】
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【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系 1．相关概念
（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标
2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点
（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 4.距离
（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用
（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：
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点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于y； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x； （3）点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2.
考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围 4.函数值
5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 6.函数图象 要点诠释：
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质 3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：
k(k?0)图像上任一点P(x,y) x作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy.
反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y??y?k, ∴xy?k，S?|k|. x资料来源于网络 仅供免费交流使用
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考点五、二次函数 1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系 4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为
?x1?x2?2??y1?y2?2.
2、函数平移规律：左加右减、上加下减. 3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??b2a时，y最值4ac?b2?.
4a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围x1?x?x2内，2a资料来源于网络 仅供免费交流使用
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4ac?b2b若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范
4a2a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x122时，y最小?ax1?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，2当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c.
4、抛物线的对称变换 ①关于x轴对称
y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k.
22②关于y轴对称
y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k.
22③关于原点对称
y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k. ④关于顶点对称
22b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；
2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
22n?对称 ⑤关于点?m，y?a?x?h??k关于点?m，n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k.
22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原
抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
考点六、函数的应用 1.一次函数的实际应用 2. 反比例函数的实际应用 3. 二次函数的实际应用 要点诠释：
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分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型. 【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，
O是坐标原点（如图所示）：
（1）P点坐标设为(x, y) ，写出ΔOPA的面积S的关系式；
（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围； （3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；
（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围； （5）当S=10时，求P的坐标；
（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.
【思路点拨】本例的第（1）问是“SΔOPA”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第
（3）问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“S”的对应关系，呈现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清哪个是函数，哪个是自变量. 【答案与解析】
解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q， SΔOPA=
|OA|·|PQ|=
×4×y=2y.
（2）S与y成正比例函数，即S=2y， 自变量y的取值范围是0＜y＜6.
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（3）∵ y=6-x, ∴ S=2y=2(6-x)=12-2x,
∴ S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6. （4）∵把x看作S的函数， ∴ 将S=-2x+12变形为：x=
,即这个函数的解析式为：x=-+6.
自变量S的取值范围是：0＜S＜12. （5）当S=10时，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1, S=2y, 10=2y, ∴ y=5,
∴ P点的坐标为（1，5）. （6）以OA为底的等腰ΔOPA中， ∵ OA=4， ∴OA的中点为2，∴x=2, ∵ y=6-x, ∴y=4. 即P点坐标为（2，4）.
【总结升华】
数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系. 函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数. 举一反三：
【课程名称：函数综合2 369112 ：经典例题1】
【变式】已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线
2y=1x+b(b 精品文档 用心整理 【答案】 解：（1）由题意得，??16?8(k?1)≥0 ． ?k≤3 ． k为正整数， ?k?1，2，3． （2） 当k?1时，方程2x2?4x?k?1?0有一个根为零； 当k?2时，方程2x2?4x?k?1?0无整数根； 当k?3时，方程2x2?4x?k?1?0有两个非零的整数根． 综上所述，k?1和k?2不合题意，舍去；k?3符合题意． 当k?3时，二次函数为y?2x2?4x?2，把它的 图象向下平移8个单位得到的图象的解析式 为y?2x2?4x?6． （3）设二次函数y?2x2?4x?6的图象与x轴交于A、B 两点，则A(?3,0),B(1,0)． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线y?13x?b经过A点时，可得b?； 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 当直线y?11x?b经过B点时，可得b??． 22由图象可知，符合题意的b(b?3)的取值范围 为? 2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为 E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( ) 13?b?． 22 (A) (B) (C) (D) 【思路点拨】本题应利用△APD的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系；或由△ADE∽△DPC得到 y与x的函数关系． 【答案】C ； 【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE∽△DPC得到 AEAD12，从而得出表达式y?； =CDDPx112也可连结PA，由S△APD=S矩形ABCD得到表达式y?，排除(A)、(B). 2x因为点P在BC边上运动，当点P与点C重合时，DP与边DC重合，此时DP最短，x=3； 当点P与点B重合时，DP与对角线BD重合，此时DP最长，x=5，即x的临界值是3和5. 又因为当x取3和5时，线段AE的长可具体求出，因此x的取值范围是3≤x≤5. 正确答案选(C). 【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动，动静结合”.找准特殊点，是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型，要引起重视. 举一反三： 【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ). 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案】A表示小明一直在停下来修车，而没继续向前走，B表示没有停下来修车，相反速度骑的比原来更慢，D表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C符合题意. 类型二、函数的综合题 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A．4 y C B．8 C．16 D．82 O A B x 【思路点拨】此题涉及运用勾股定理；已知一次函数解析式中的y值，解函数转化的一元一次方程求出 x值，利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式. 【答案】C； 【解析】将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时即当y=4时，解得x=5， 所以平移的距离为5-1=4，又知BC扫过的图形为平行四边形，高不变为：52?(4?1)2?4， 所以平行四边形面积=底×高=4×4=16. 【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强. 举一反三： 【课程名称：函数综合2 369112 ：经典例题2】 【变式】在坐标系中，二次函数y?mx?(m?3)x?3(m?0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点 2B的左侧），与y轴交于点C. （1）求点A的坐标； （2）当?ABC?45?时，求m的值； （3）已知一次函数y?kx?b，点P（n，0）是x轴上的一个动点， 在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M， 2交二次函数y?mx?(m?3)x?3(m?0)的图象于N. 若只有当?2?n?2 时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案】 （1）∵点A、B是二次函数y?mx2??m?3?x?3（m?0）的图象与x轴交点， ∴令y?0，即y?mx2??m?3?x?3. 解得：x1??1，x2?3. m又∵点A在点B左侧且m?0， ∴点A的坐标为（-1，0）. y5432?3A ?2?1O?1?21123B x ?3?4C ?5（2）由（1）可知点B的坐标为（ 3，0） m ∵二次函数与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，-3）. ∵∠ABC=45°， ∴ 3=3. m ∴m=1. （3）由（2）得，二次函数解析式为y?x2?2x?3. 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2， 由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）. 将交点坐标分别代入一次函数解析式y?kx?b中， ?2k?b?5，得 2k?b??3，资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 k??2. 解得 b?1. ∴一次函数的解析式为y??2x?1. y?5432?3?2?1O?2 B x A P 123?11?3?4M C ?N ?54．（2015?湖北模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④ 【思路点拨】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确； 连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 【答案】C. 【解析】 解：∵A、B是反比函数y=上的点， ∴S△OBD=S△OAC=，故①正确； 当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∵P是y=的图象上一动点， ∴S矩形PDOC=4， ∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确； 连接OP， = ==4， ∴AC=PC，PA=PC， ∴ =3， ∴AC=AP；故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选C． 【总结升华】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解：根据题意得：当点P在ED上运动时，S=BC?PE=2t； 当点P在DA上运动时，此时S=8； 当点P在线段AB上运动时，S=BC（AB+AD+DE﹣t）=5﹣t； 结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．故选B． 类型三、函数与几何综合题 5．如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB k(x?0)的图象与边BC交于点F. x（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求k的值； 上的—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数y?（2）若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少? 【思路点拨】 （1）设E（x1， kkkx），F（2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2= ， x2x12利用S1＋S2=2即可求出k. （2）设E( kk，2)， F(4，)，利用S24四边形OAEF =S 矩形OABC －S△BEF－S△OCF=?12?k?4??5，根据二次函数的16最值即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5. 【答案与解析】 解：（1）∵点E、F在函数y?∴设E（x1， k(x?0)的图象上， xkk），F（x2，），x1＞0，x2＞0， x2x11kk1kk?x???x??. ∴S1=，S2=122x122x22∵S1＋S2=2，∴ kk??2.∴k?2. 22kk，2)， F(4，). 24（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E( 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴BE=4－ kk，BF=2－. 241?k??k?121kk∴S△BEF= ??4????2???k?k?4，S△OCF= ?4??，S矩形OABC=2×4=8， 2?2??4?16242∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF= 8－(=?121kk?k?4)－?k2??4 1616212?k?4??5. 16∴当k=4时，S四边形OAEF=5.∴AE=2. ∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5. 【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值. 6．（2015?宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数 y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于 点N． （1）求k的值； （2）求△BMN面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t的值． 【思路点拨】 （1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值； （2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值； （3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果． 【答案与解析】 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得： k=1×8=8，y=， ∴k=8； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）设直线AB的解析式为：y=kx+b， 根据题意得：解得：k=，b=﹣3， ∴直线AB的解析式为：y=x﹣3； 设M（t，），N（t，t﹣3）， 则MN=﹣t+3， ∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t+t+4=﹣（t﹣3）+∴△BMN的面积S是t的二次函数， ∵﹣＜0， ∴S有最大值， 当t=3时，△BMN的面积的最大值为（3）∵MA⊥AB， ∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c， 把点A（8，1）代入得：c=17， ∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17， 解方程组 得： 或 （舍去）， ； 2 2 ， ， ∴M的坐标为（，16）， ∴t=． 【总结升华】 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强． 7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛 2 物线y=﹣x+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0） （1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当t= 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论； （2）①当t= 时，OA=AP= ，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可； ②此题要分成两种情况讨论： （i）PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积； （ii）PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5． 【答案与解析】 2 解：（1）因抛物线y=﹣x+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）， 故可得c=0，b=4， 2 所以抛物线的解析式为y=﹣x+4x， 22 由y=﹣x+4x，y=﹣（x﹣2）+4， 得当x=2时，该抛物线的最大值是4； （2）①点P不在直线ME上； 已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0）， 设直线ME的关系式为y=kx+b； 于是得，解得 所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8； 由已知条件易得，当t= 时，OA=AP= ，P（ ， ） ∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴当t= 时，点P不在直线ME上； ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴OA=AP=t； 2 ∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t+4t） 2 ∴AN=﹣t+4t（0≤t≤3）， 22 ∴AN﹣AP=（﹣t+4t）﹣t=﹣t+3t=t（3﹣t）≥0， 2 ∴PN=﹣t+3t （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， ∴S=DC?AD=×3×2=3； （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵PN∥CD，AD⊥CD， ∴S=（CD+PN）?AD=[3+（﹣t+3t）]×2=﹣t+3t+3 当﹣t+3t+3=5时，解得t=1、2 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1，3） 当t=2时，此时N点的坐标（2，4）． 【总结升华】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分） 2 2 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用