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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】 【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此解答即可． 【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD?CD，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM． 又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线． （2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴
DFDB?，即DB2=DF?DA． DBDA∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形． （1）求证：AC=CE； （2）求证：BC2﹣AC2=AB?AC； （3）已知⊙O的半径为3． ①若②当
AB5=，求BC的长； AC3AB为何值时，AB?AC的值最大？ AC
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=42；②【解析】
3 2分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB?AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=
BEBG?，即BF?BG=BE?AB，将BF=BC-CF=BC-BFBA1BC=6k求得DM=CD2?CM2=3k，可知OM=OD-2DM=3-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB?AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵四边形EBDC为菱形， ∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°， ∴∠A=∠AEC， ∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD， ∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形， ∴∠G+∠AEF=180°， 又∵∠AEF+∠BEF=180°， ∴∠G=∠BEF， ∵∠EBF=∠GBA， ∴△BEF∽△BGA， ∴
BEBG?，即BF?BG=BE?AB， BFBA∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC， ∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB?AC，即BC2﹣AC2=AB?AC； （3）设AB=5k、AC=3k， ∵BC2﹣AC2=AB?AC， ∴BC=26k， 连接ED交BC于点M， ∵四边形BDCE是菱形， ∴DE垂直平分BC， 则点E、O、M、D共线， 在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=∴DM=CD2?CM2?3k， ∴OM=OD﹣DM=3﹣3k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣3k）2+（6k）2=32， 解得：k=
1BC=6k， 223或k=0（舍）， 3∴BC=26k=42；
②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2， ∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，
AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2， 由（2）得AB?AC=BC2﹣AC2 =﹣4d2+6d+18
3281）+，
443381∴当d=，即OM=时，AB?AC最大，最大值为，
44427∴DC2=，
2=﹣4（d﹣∴AC=DC=∴AB=36， 2AB396?． ，此时AC24点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. 【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长． 试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC= =6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°． （1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法； （2）求（1）中所求作的圆的面积． 【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π． 【解析】 试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以?AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．