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设输入信号为x(n)，输出信号为y(n)，该数字滤波器可用以下差分方程来表示：
M?1y(n)??ax(n?i)??by?n?i? (2-1)
iii?0i?1N?1式中ai，bi称为滤波器系数。 当bi?0时，上式变为：
y?n???aix?n?i? (2-2)
i?0M?1这种滤波器称为全零点滤波器。
如果ai?0，bi?0时，则称为全极点滤波器或递归滤波器。 由上式，可知数字滤波器的传递函数为:
M?1 H?z???azii?0Mi?1?1 (2-3)
1??biz?i其单位冲击响应函数为:
h?n??z?1?H?z?? (2-4)
y?n??h?n??x?n??i????h?i?x?n?i? (2-5)
?如果当n<0时，有h(n)=0，这样的滤波器系统称之为因果系统。如果冲激响应函数是有限长的，即
?h?n?,0?n?N h?n??? (2-6)
0,else?则称此滤波器为有限冲激响应FIR(FiniteImpulseResponse)滤波器，否则，称之为无限冲激响应IIR(InfiniteImpulseResponse)滤波器。 如果h(n)满足如下条件:
h?n??0,n?0????
h?n??C??n?0? 7
则称此滤波器是因果的，并且是稳定的。
2.3 自适应滤波器的原理
所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR和II种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由两部分组成，一是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的结构采用FIR或IIR结构均可，由于IIR滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。图2-2示出了自适应滤波器的一般结构。
标准信号+输入信号误差信号参考可调滤波器-+Y（k）自适应算法图2-2 自适应滤波器结构的一般形式图2-2为自适应滤波器结构的一般形式，图中x (k)输入信号，通过权系数可调的数字滤波器后产生输出信号y (k)，将输出信号y (k)与标准信号（又称期望信号）d(k)进行比较，得到误差信号e (k)。e (k)和x (k)通过自适应算法对滤波器的权系数进行调整，调整的目的使得误差信号e (k)最小。重复上面过程，滤波器在自己的工作过程中逐渐了解到输入信号和噪声的统计规律，并以此为根据自动调整滤波器权系数，从而达到最
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佳的滤波效果。一旦输入的统计规律发生了变化，滤波器能够自动跟踪输入信号变化，自动调整滤波器的权系数，最终达到滤波效果，实现自适应过程。图2-3是使用自适应滤波器的系统识别原理图。
x(n)H(Z)d(n)+y(n)?-e(n)W(Z)图2-3 自适应滤波器的系统识别框图自适应滤波器的结构可以采用FIR或IIR滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。自适应FIR滤波器结构又可分为3种结构类型：横向型结构（Transversal Structure）、对称横向型结构（Symmetric Transversal Structure）以及格型结构（Lattice Struture）。本文采用自适应滤波器设计中最常用的FIR横向型结构[5-8]。
2.4自适应滤波算法种类
2.4.1 最小均方（LMS）算法
由Widrow和Hoff引入的最小均方(LMS)算法，由于其简单性、运算高效性各种运行条件下良好的性能，而被广泛应用。基于梯度的最小均方(LMS)算法是最基本的算法，其含义相对简单明了。选定均方误差为权矢量二次函数时，性能度量曲线可以形象地看成一个碗形曲面这样自适应处理器的任务便是不断地向最低点逼近，即可以通过计算梯度的方法实现性能度量的最优化。而基于梯度的算法中，最简单的一种就是最小均方算法LMS算法，LMS算法使用的准则是使均衡器的期望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数以达到最优的自适应迭代算法[9]。这算法不需要计算相应的相关函数，也不需要进行矩阵
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运算。自适应滤波器最普通的应用就是横向结构。滤波器的输出信号y(n)是y(n)
y?n??w?n??x?n???wi?n?x?n?i? (2-7)
Ti?0N?1T表示转置矩阵， n是时间指针，N是滤波器次数。这个例子就是有限脉冲响应滤波器的形式，为x(n)和w(n)两个矩阵卷积。 这种自适应算法使用误差信号
e?n??d?n??y?n? (2-8) 为了方便起见，将上述式子表示为向量形式，则上述式子表示为:
y?n??wT?n??x?n? (2-9) 误差序列可写为
e?n??d?n??y?n??d?n??wT?n??x?n? (2-10) 其中d(n)是期望信号，y(n)是滤波器的输出。使用输入向量x(n)和e(n)来更新自适应滤波器的最小化标准的相关系数。
显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列e(n)按照某种准则和算法对其系数{wi(n)}，i=1，2，…，N进行调节的，最终使自适应滤波的目标(代价)函数最小化，达到最佳滤波状态。
本节所用的标准是最小均方误差(MSE)。
e?Ee2?n? (2-11) E[]表示算子期望。假如公式中的y(n)被公式(3.3)取代，公式(3.5)就可以表 示为
e?Ee2?n??wT?n??R?w?n??2wT?n??P (2-12)
R?Ex?n??xT?n?是N?N自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。
??????P?E?d?n??x?n??是N?1互相关向量，也指出了期望信号d(n)和输入信号向量x(n)的相
互关矢量。
由式(2-12)可见，自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。当矩阵R
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