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2021年中考数学真题试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1. 2020的相反数是（ ） A. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】
根据相反数的定义进行判断即可 【详解】解：2020的相反数是-2020； 故选：B
【点睛】此题考查了相反数，正确把握相反数的定义只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键．
B. ?2020
C.
1 2020D. ?1 2020?x??22. 不等式组?的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x?1?A.
B.
C. 【答案】A 【解析】 【分析】
D.
先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可． 【详解】解：由题意可得： 不等式组的解集为：-2≤x＜1， 在数轴上表示为：
故选A.
【点睛】此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A. 4 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 5 C. 6 D. 7
在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.
【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5， 故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．
4. 下列式子运算正确的是（ ） A. 2x?3x?5x2 【答案】C 【解析】 【分析】
根据合并同类项、去括号、同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：A、2x?3x?5x，故选项错误； B、?(x?y)??x?y，故选项错误； C、x2x3x5，故选项正确；
B. ?(x?y)?x?y
C. x2x3x5 D. x4?x?x4
D、x4?x?x4和x不是同类项，不能合并，故选项错误； 故选C.
【点睛】本题考察了合并同类项、去括号、同底数幂的乘法，要掌握运算法则. 5. 下列四个选项中不是命题的是（ ） A. 对顶角相等
B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果a?b，a?c，那么b?c 【答案】B 【解析】 【分析】
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【详解】解：由题意可知， A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题； C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题； D、如果a?b，a?c，那么b?c，故选项是命题； 故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题． 6. 已知a?2?|b?2a|?0，则a?2b的值是（ ） A. 4 【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵a?2?|b?2a|?0， ∴a-2=0，b-2a=0， 解得：a=2，b=4， 故a+2b=10．
B. 6
C. 8
D. 10
故选：D．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
x2?17. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
x?1A. 0 【答案】B 【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
B. 1
C. ﹣1
1 D. ±
x2?1【详解】∵分式的值为零，
x?1?x2?1?0， ∴??x?1?0解得：x=1， 故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
8. 在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表： 投中次数 人数
则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ） A. 3.9，7 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得． 【详解】解：这10人投中次数的平均数为中位数故选D.
（7+8）÷2=7.5，
B. 6.4，7.5
C. 7.4，8
D. 7.4，7.5
5 2 7 3 8 3 9 1 10 1 5?2?7?3?8?3?9?10=7.4，
10
【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义． 9. 如图，在RtACB中，?C?90?，sinB?0.5，若AC?6，则BC的长为（ ）
A. 8 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 12
C. 63 D. 123 利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC. 【详解】解：∵sinB=∴AB=2AC， ∵AC=6， ∴AB=12， ∴BC=故选C.
【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.
10. 如果关于x的一元二次方程kx2?3x?1?0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. kAC=0.5， ABAB2?AC2=63，
9 4B. k9?且k?0 4C. k9且k?0 4D. k?9 4【答案】C 【解析】 【分析】
根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤
9且k≠0， 4故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac
有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
11. 如图，ABC内接于圆，过点C的切线交AB的延长线于点P，?P?28?．则?CAB??ACB?90?，（ ）
A. 62? 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 31? C. 28? D. 56?
连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB. 【详解】解：连接OC， ∵CP与圆O相切， ∴OC⊥CP， ∵∠ACB=90°， ∴AB为直径， ∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°， 而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP， 即∠CAB=31°， 故选B.
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.
12. 已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点
B、C、F共线，ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图
形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1， 当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×3=3t， 则S=S△CEH=
1132×CE×HE=×t×3t=t， 222
可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME=3BE3(at)，
∴S=32332322a?a?t??t?3at?a， ??4224可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S=
323332a??t?a???t2?3at?a2， 4224可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，
此时BF=2a-t，MF=3BF3(2at)，
∴S3(2at)2232t23at23a2， 2可知图象为开口向上的二次函数； 故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13. 如图，a//b，c与a，b都相交，?1?50?，则?2?_________．
【答案】130° 【解析】 【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2. 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=50°， ∴∠2=180°-50°=130°， 故答案为130°.
【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等. 14. 如果用?3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为___________． 【答案】-2℃ 【解析】 【分析】
直接利用正负数的意义分析得出答案．
【详解】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度， 那么温度降低2摄氏度可表示为：-2℃． 故答案为：-2℃．
【点睛】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键．
15. 从?,12?1,1,2,5中任取一数作为a，使抛物线y?ax2?bx?c的开口向上的概率为__________．
【答案】
3 5【解析】 【分析】
使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为故答案
：
3， 53. 5【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键． 16. 若 x2?y2【答案】【解析】 【分析】
根据因式分解法进行求解即可； 【详解】解： x2?y26
??2?5x2?y2?6?0 ，则 x2?y2? ________．
????2?5x2?y2?6?0，
???x2?y2?6x2?y2?1?0，
2222???∴ x?y=6 或 x?y=-1， 又∵ x?y?0， ∴ x?y=6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的因式分解，准确计算是解题的关键．
17. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
2222AC、BD交于点O．若AD?2，BC?4，则AB2?CD2?__________．
【答案】20 【解析】 分析】
由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD，
【AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4，
∴AB2?CD2?AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20.
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
?2?18. （1）计算：(?1)2020?(??1)0???；
?3??2?x2?x2?1?x?1??2（2）先化简?，再从﹣，10，1中选择合适的x值代入求值． ?x?1?x?2x?1【答案】（1）【解析】 【分析】
113；（2），-1
x?14
（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：（1）原式=1+1× =1+=
949 413； 4?x2x2?1??x?1??x?1?? （2）原式=???2x?1x?1?x?1???=
1x?1 ?x?1x?11， x?1=
∵（x+1）（x-1）≠0， ∴x≠±1， ∴取x=0， 则原式=-1．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的规定及分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
【答案】（1）5；（2）【解析】 【分析】
2；（3）120 5
（1）用成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数，再根据各分数段人数之和等于总人数可得m的值； （2）用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得；
（3）用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得．
【详解】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%， 15%=20（人）∴被抽查的学生人数为3÷，
则成绩在100～110分的学生人数m=20-（2+3+7+3）=5； （2）这名学生成绩为优秀的概率为
5?32?； 20525（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×=120人.
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据80～90分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概率公式及样本估计总体思想的运用．
20. 某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【答案】共有45名学生，一共种植221棵树. 【解析】 【分析】
设共有x人，根据如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
【详解】解：设共有x名学生，依题意有：
??3x?86?5?x?1?， ?3x?86?5x?1?3????解得：44＜x＜45.5， ∵x为整数， ∴x=45， ∴3x+86=221．
答：共有45名学生，一共种植221棵树.
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意的能力，设出人数就能表示出植树棵数，然后根据每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
21. 如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC
延长线上的点，过点E作AE的垂线交?DCG的角平分线于点F，若FG?BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC?2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5 【解析】 【分析】
（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=?ABBE?，求出FG，最后用三角EGFG1252?x?5??，即可得出结论. 22【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCG=90°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCG=
1∠DCG=45°， 2∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°， ∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE， ∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠BAE=∠FEG， ∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF； （2）∵AB=BC=10，CE=2， ∴BE=8， ∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG， 由（1）知，△BAE∽△GEF， ∴
ABBE?， EGFG108?，
2?FGFG∴
∴FG=8， ∴S△ECF=
11CE?FG=×2×8=8； 22（3）设CE=x，则BE=10-x， ∴EG=CE+CG=x+FG， 由（1）知，△BAE∽△GEF， ∴
ABBE?， EGFG1010?x?，
x?FGFG∴
∴FG=10-x， ∴S△ECF=
125112×CE×FG=×x?（10-x）=??x?5??， 222225， 2当x=5时，S△ECF最大=
∴当EC=5时，△CEF的面积最大.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
22. 已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y?n（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若OB=2OA=3OD=6． x（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两函数图象的另一个交点坐标； （3）直接写出不等式；kx+b≤
n的解集． x
【答案】（1）y=﹣2x+6．y??【解析】 【分析】
20;(2) 另一个交点坐标为（5，﹣4）．(3) ﹣2≤x＜0或x≥5． x（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式． （2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号． 【详解】（1）∵OB=2OA=3OD=6， ∴OB=6，OA=3，OD=2， ∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴∴
OBAO?， CDAD63?， OD5∴CD=10，
∴点C（﹣2，10），B（0，6），A（3，0），
?b?6∴?
3k?b?0?解得：??k??2，
b?6?n经过点C（﹣2，10）， x∴一次函数的表达式为y=﹣2x+6． ∵反比例函数的表达式y?∴n=﹣20，
∴反比例函数表达式为y??20； x?y??2x?6?（2）由?20，
y???x??x??2?x?5解得?或?，
y?10y??4??故另一个交点坐标
（3）由图象可知kx?b?23. 如图，四边形ABCD内接于圆，?ABC?60?，对角线BD平分?ADC． （1）求证：ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD?2，DC?3，求BDE的面积．
的（5，﹣4）；
n的解集为：﹣2≤x＜0或x≥5． x
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
253； 4（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=253. 4【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=
1AD=1，AM=AD2?DM2?3， 2∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=
1133CD-AM=×3×3=， 222在Rt△AMC中，∠AMD=90°， ∴AC=AM2?CM2?19，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=19， ∴BN=
357， BC?22
∴S△ABC=
157193=×19×，
224∴四边形ABCD的面积=∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠E=60°， ∴∠E=BDC，
19333253+=，
424∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB=∠BCD， 在△EAB和△DCB中，
??E??BDC???EAB??DCB， ?AB?BC?∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=253. 4【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
0?，B?10，?两点，与y轴交于点24. 已知二次函数y?ax2?bx?（ca?0）的图象与x轴交于A??3，C(0,?3)，
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
【答案】（1）y?x2?2x?3，A（-3，0）；（2）（?【解析】 【分析】
（1）把A,C点带入方程，列方程组即可求解；
315，?）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）. 24（2）根据题意得出当点D到直线AC的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程x2?3x?m?0，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；
（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
【详解】解：（1）将B（1，0），C(0,?3)带入函数关系式得，
?0?a?2+c， ?c??3??a?1解得：?，
c??3?∴二次函数表达式为：y?x?2x?3； （2）当点D到直线AC的距离取得最大值时， ∵A（-3，0），C(0,?3)，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
2?k??1?o??3k?n，解得：， ??n??3?3?n??∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l， 当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大， 此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
?y?x2?2x?3联立：?，得：x2?3x?m?0，
?y??x?3?m令△=32?4?1?m?0，解得：m=则解方程：x?3x?29， 493?0，得x=?，
24
∴点D的坐标为（?315，?）； 24（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t）， 当OB为平行四边形的边时， 如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得： 解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时， 线段OB的中点为（
11，0），对角线MN的中点也为（，0）， 22∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得： 4+4-3=-t， 解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，-5），
综上：以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.