loading2016年全国高中数学联合竞赛
加试
22一、（本题满分40分）设实数a1,a2,…,a2016满足9ai?11ai2…。求,2015)(a?a)(a?a(i?1,2,1223)…?12(a2015?a2016)(a2016?a12)的最大值。
222解：令P?(a1?a2)(a2?a3)…(a2015?a2016)(a2016?a12)，
由已知得，对i?1,2,…，2015，均有ai?ai?1?2若a2016?a1?0，则P?0。……………10分
2112ai?1?ai2?1?0。 92以下考虑a2016?a1?0的情况。约定a2017?a1。由平均不等式得 12016201612016120162?(ai?ai?1)?(?ai??ai2?1) ?2016i?12016i?1i?1P201612016120162?(?ai??ai)?ai(1?ai)………………20分 ?2016i?12016i?1i?112016ai?(1?ai)2111?[]??2016?? ?2016i?12201644所以P?142016。………………30分
当a1?a2?…?a2016?1)，此时时，上述不等式等号成立，且有9ai?11ai2,2,…,2015?1(i?12P?142016。
综上所述，所求最大值为
142016。………………40分
二、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得
BX?AC?CY?AB。
设?ACX，?ABY的外心分别为O1，O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U，V。 证明：?AUV是等腰三角形。
证法一：作?BAC的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为?1和?2。由内角平
BPABBXAB??。由条件可得。从而
CYACCPACPXBX?BPABBP??? PYCY?CPACCP即CP?PX?BP?PY。…………20分
分线的性质知，
故P对圆?1和?2的幂相等，所以P在?1和?2的根轴上。…………30分
于是AP?O1O2，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形。…………40分
证法二：设?ABC的外心为O，连接OO1，OO2。过点O,O1,O2，分别作直线BC的垂线，垂足分别为
D,D1,D2，作于点K。
我们证明。在直角三角形OKO1中，
OO1?O1K
sin?O1OK由外心性质，OO1?AC。又OD?BC，故?O1OK??ACB。 而D,D1分别是BC，CX的中点，所以DD1?CD1?CD?因此
111CX?BC?BX。 2221BXO1KDD1BX2 OO1????RABsin?O1OKsin?ACBAB2RCY这里R是?ABC的外接圆半径。同理OO2?R。…………10分
ACBXCY?由已知条件可得，故OO1?OO2。…………20分 ABAC
由于O1O2?AC，所以?AVU?90°??OO1O2。同理?AUV?90°??OO2O1。…………30分
又因为OO1?OO2，故?OO1O2??OO2O1，从而?AUV??AVU。这样AU?AV，即?AUV是等腰三角形。………………40分 三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。
解：以这10个点为顶点，所连线段为边。得到一个10阶简单图G。我们证明G的边数不超过15. 设G的顶点为v1,v2,…,v10，共有k条边，用deg(vi)表示顶点vi的度。若deg(vi)?3对i?1,2,…，10都成立，则
1101k??deg(vi)??10?3?15
2i?12假设存在vi满足deg(vi)?4。不妨设deg(v1)?n?4，且v1与v2,…,vn?1均相邻。于是v2,…,vn?1之间没有边，否则就形成三角形，所以，v1,v2,…,vn?1之间恰有n条边。…………10分
对每个j(n?2?j?10)，（否则设vj与vs,vt(2?s?t?n?1)相vj至多与v2,…,vn?1中的一个顶点相邻邻，则v1,vs,vj,vt就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。）从而v2,…,vn?1与vn?2,…
,v10之间的边数至多10?(n?1)?9?n条。…………20分
(9?n)2]条边，因此G的边数 在vn?2,…,v10这9?n个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多[4(9?n)2(9?n)225k?n?(9?n)?[]?9?[]?9?[]?15…………30分
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如图给出的图共有15条边，且满足要求。
综上所述，所求边数的最大值为15.………50分
四、（本题满分50分）设p与p?2均是素数，p?3。数列{an}的定义为a1?2，an?an?1???pan?1?，??n?n?2,3,，…。这里?x?表示不小于实数x的最小整数。
证明：对n?3,4,…,p?1均有n|pan?1?1成立。 证明：首先注意，{an}是整数数列。
对n用数学归纳法。当n?3时，由条件知a2?2?p，故pa2?1?(p?1)2。因p与p?2均是素数，且p?3，故必须3|p?1。因此3|pa2?1，即n?3时结论成立。 对3?n?p?1，设对k?3,…,n?1成立k|pak?1?1，此时??pak?1?pak?1?1， ??k?k?故pak?1?1?p(ak?2??k?2?)?1?p(ak?2??k?1??pa?pak?2?1)?1
k?1?(pak?2?1)(p?k?1)…………10分
k?1故对3?n?p?1，有
p?n?1p?n?1p?n?2(pan?2?1)??(pan?3?1)
n?1n?1n?2p?n?1p?n?2p?3??…?(pa2?1)…………20分 =…?n?1n?23pan?1?1?因此pan?1?1?2n(p?1)nCp?n
(p?n)(p?2)n由此知（注意Cp?n是整数）n|(p?n)(p?2)(pan?1?1)①…………40分
因n?p，p是素数，故(n,n?p)?(n,p)?1，又p?2是大于n的素数，故(n,p?2)?1，从而n与
(p?n)(p?2)互素，故由①知n|pan?1?1，则数学归纳法知，本题得证。………50分