loading一元二次方程判别式与韦达定理
知识归纳：
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，
那么x1?x2??cb，x1x2? aa(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两 个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
经典例题：
【例1】不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
【例2】当m取什么值时，关于x的方程x2?2(2m?1)x?(2m?2)2?0。
（1） 有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
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【例3】求证：无论m取何值，方程9x
【例4】当m为什么值时，关于x的方程(m
22?(m?7)x?m?3?0都有两个不相等的实根。
?4)x2?2(m?1)x?1?0有实根。
【例5】:已知2x-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值.
分析:∵由二次根式的性质
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a2?|a|,反之|a|?a2,因此将|x1?x2|可化为
(x1?x2)2求.
解:x1?x2?31,x1,x2?? 222x12?2x1x2?x2?2x12?2x1x2?x2?4x1x2
|x1?x2|?(x1?x2)2??(x1?x2)2?4x1x2?9191717 ?4?(?)??2??424422
【例6】 已知关于x的一元二次方程.
12x2?2(m?)x?m2?2?0的两个根是x1,x2,且x12?x1x2?x2?12求m的值
2
【例7】: 已知m是正实数,关于x的方程2x-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0求m的值.
解:由根与系数间的关系可得 x1?x2?2
m ① 2 x1?x2??15 ② 由已知条件5x1+3x2=0 ③
m解:①③组成的方程组 2
5x1?3x2?0x1?x2?3x1??m4解得: 将方程组的解代入②得
5x2?m435(?m)?(m)?154415 ?m2??1516m2?16m=4或m=-4 ∵m是正实数 ∴m=4
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探索与创新：
【问题一】已知关于x的方程k2x2?(2k?1)x?1?0有两个不相等的实数根x1、x2，问是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。
???k2?0?k?0??1?22略解：???(2k?1)?4k?0 化简得?k?
4??2k?11?x1?x2??2?0?k?k??2?∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
DEACFB100略解：设CF＝DE＝x，则CD＝EF＝
x修建总费用为：1.75x?4.5x?4.5?2?100x＝6.25x?问题二图 900x条件是：10＜x≤25
900?150?x＝12 ∴能完成 x900?120?6.25x2?120x?900?0 （2）6.25x?x（1）6.25x?∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
课堂练习
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