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证明：
5.(1)
① x(F(x)∨G(x)) 前提引入 ①US 前提引入 ③US 前提引入 ⑤US
④⑥析取三段论 ②⑦析取三段论 UG
② F(y)∨G(y) ③
x(┐G(x)∨┐R(x))
④ ┐G(y)∨┐R(y) ⑤
xR(x)
⑥ R(y) ⑦ ┐G(y) ⑧ F(y) ⑨
xF(x)
设F(x):x为有理数，R(x):x为实数，G(x):x是整数。 前提： 结论：
x(F(x)→R(x))，x(R(x)∧G(x))
x(F(x)∧G(x))
前提引入 ①ES ②化简 ②化简 前提引入 ⑤US
③⑥假言推理 ④⑦合取 ⑧EG
x(F(x)∧G(x))
证明： ①
(2)
② F(c)∧G(c) ③ F(c) ④ G(c) ⑤
x(F(x)→R(x))
⑥ F(c)→R(c) ⑦ R(c) ⑧ R(c)∧G(c) ⑨
x(R(x)∧G(x))
设：F(x):x为有理数，G(x):x为无理数，R(x)为实数， H(x)为虚数 前提： 结论：
x((F(x)∨G(x))→R(x)),
x(H(x)→┐R(x))
x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
x((F(x)∨G(x)→R(x))
前提引入 ①US 前提引入 ③US ②置换 ④⑤假言三段论 ⑥置换 ⑦UG
证明： ①
(3)
② F(y)∨G(y))→R(y) ③
x(H(x)→┐R(x))
④ H(y)→┐R(y)
⑤ ┐R(y)→┐(F(y)∨G(y)) ⑥ H(y)→┐(F(y)∨G(y)) ⑦ H(y)→(┐F(y)∧┐G(y)) ⑧
x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
设：F(x):x能表示成分数， G(x):x为无理数， H(x)为有理数 前提： 结论：
x(G(x)→┐F(x)),x(H(x)→┐G(x))
x(H(x)→F(x))
前提引入 ①US 前提引入 ③US ④置换
②⑤假言三段论 ⑥UG
x(H(x)→F(x))
证明： ①
② H(y)→F(y) ③
x(G(x)→┐F(x))
④ G(y)→┐F(y) ⑤ F(y)→┐G(y) ⑥ H(y)→┐G(y) ⑦
x(H(x)→┐G(x))