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第八章 空间解析几何与向量代数（6学时）
§8.1 向 量 及 其 线 性 运 算
一、补充例题
??????例1 已知向量a?(3,5,?1)，b?(2,2,3)，c(4,?1,?3)，求2a?3b?4c。
例2 在yOz面上，求与三点A(3,1,2)、B(4,?2,?2)和C(0,5,1)等距离的点。 例3 已知两点A(2,?3,1)和B(1,?2,0)，求与AB方向相同的单位向量e。 例4 已知两点A(1,?1,2)和B(0,1,3)，计算向量AB的模、方向余弦和方向角。
例5 一向量的终点在点B(2,?1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，?4和7。求这向量的起点A的坐标。
二、练习
?p12?13 习题8-1 4，5，15，17
§8.2 向量的数量积与向量积
一、补充例题
?????????a。 例1 已知a?i?j，b?i?k，求a?b，cos(a,b)及Prjb?例2 已知四点A(2,2,1)、B(0,1,2)、C(1,1,1)、D(3,3,2)，求Prj例3 记a?(3,?1,0)，b?(1,2,?1)，求a?b。
CDAB，cos(AB,CD)。
????例4 已知?ABC的三个顶点为A(3,0,2)，B(5,3,1)，C(0,?1,3)，（1）求垂直于这个三角形所在平面的单位向量；（2）求?ABC的面积。
解 （1）因为a?AB?AC垂直于向量AB与AC，所以a是一个垂直于三角形ABC所在平面的向量。而AB?(2,3,?1)，AC?(?3,?1,1)，所以
??????a?AB?AC?23?1?2i?j?7k。
?3?11?1???a?22?12?72?36，ea(2,1,7)。
36所以垂直于三角形ABC所在平面的单位向量为??i?j?k1361
(2,1,7)。
（2）因为?ABC的面积S是以AB，AC为邻边的平行四边形面积的一半，所以
S?二、练习
11?1223AB?AC?a?2?1?72?6。 2222p22 习题8-2 1，3，6，10
§8.3 曲面及其方程
一、补充例题
x2z2例1 将xOz坐标面上的双曲线2?2?1分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方
ac程。
二、练习
p31 习题8-3 5，6，7
§8.4 空间曲线及其方程
一、补充例题
例1 下列方程组各表示怎样的曲线？
22222???x2?y2?1，?x2?4y，?z?x?y，?x?y?z?36，（1）?（2）?（3）?（4）?2 2222???2x?3z?6；?z?1；?z?4?x?y；?z?3x?3y.答案：（1）平行于y轴的平面与母线平行于z轴的圆柱面的交线（图 8-44）；（2）z?1平面上的抛物线； （3）z?2平面上的圆； （4）z??33平面上的两个圆。
例2 求由曲面S1：x2?y2?2z?0与曲面S2：x2?y2?2x?0以及xOy平面所围成的立体?在
xOy面上的投影。
解 曲面S1是旋转抛物面，曲面S2是母线平行于z轴方向的圆柱面，它们的交线C的方程为
22??x?y?2z?0。 ?22??x?y?2x?0曲线C在xOy面上的投影曲线是一个圆，其方程为
?x2?y2?2x?0， ?z?0?立体?在xOy面上的投影就是曲线C在xOy面上的投影曲线所围平面区域，用不等式表示为
x2?y2?2x?0，即(x?1)2?y2?1。
2
二、练习
p37 习题8-4 3，4
§8.5 平 面 及 其 方 程
一、补充例题
例1 一平面过点M0(3,?2,1)且与M0到M1(?2,1,4)的连线垂直，求其方程。 例2 求过三点M1(0,?1,3)，M2(1,1,?2)，M3(?1,2,?2)的平面方程。 例3 求通过y轴和点(1,?2,1)的平面的方程。 分析：平面方程为Ax?Cz?0。
例4 求过点M1(1,0,?2)和M2(1,2,2)，且与以向量a?(1,1,1)为法向量的平面垂直的平面方程。 例5 求平面x?y?4z?2和x?2y?2z?0的夹角。
例6 求过点M1(1,2,?1)、M2(2,3,1)且和平面x?y?z?1?0垂直的平面方程。 二、练习
?p42?43 习题8-5 1，6，8
§8.6 空间直线及其方程
一、补充例题
例1 用对称式方程和参数方程表示直线： ??x?2y?z?2?0 （1）
3x?y?2z?4?0?解 先找出这直线上的一点(x0,y0,z0)。例如，可以取x0??1，代入方程组（1），得
??2y?z??1 ??y?2z??1解之得y0?1，z0?1，即(?1,1,1)是这直线上的一点。
下面再找出这直线的方向向量s。由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1?(1,?2,1)，
?????????n2?(3,1,?2)都垂直，所以可取 s?n1?n2?1?21?3i?5j?7k，
31?2?i?j?k因此，所给直线的对称式方程为
x?1y?1z?1??， 357?x?3t?1?令上式为t，又得已知直线的参数方程为 ?y?5t?1。
?z?7t?1?
3
?x?4y?2z?0例2 一直线过点M(5,0,?2)且与直线?平行，求该直线的方程。
2x?3y?z?1?0?例3 已知直线过一点M0(1,?2,0)，且与平面2x?y?3z?1?0垂直，求此直线的对称式方程和参数方程。
解 所求直线与已知平面垂直，平面的法向量可以取为直线的方向向量s?(2,?1,3)，由对称式方程（2），得所求直线的对称式为
?x?1y?2z??。 2?13?x?1?2tx?1y?2z????t，得所给直线的参数方程为 ?y??2?t。 令 2?13?z?3t?补充：平面束的方程。 设直线L由方程组 ?①?A1x?B1y?C1z?D1?0
②?A2x?B2y?C2z?D2?0所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例。下面建立三元一次方程：
A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0， ③
其中?为任意常数。因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例，所以对于任何一个?值，方程③的系数：
A1??A2、B1??B2、C1??C2不全为零，从而方程③表示一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标
必同时满足方程①和②，因而也满足方程③，故方程③表示通过直线L的平面，且对应于不同的?值，方程③表示通过直线L的不同的平面。反之，通过直线L的任何平面（除平面②外）都包含在方程③所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程③就作为通过直线L的平面束的方程（实际上，方程③表示缺少平面②的平面束）。
指出：若要使平面束包含已知的两个平面，可以取平面束方程为
?1(A1x?B1y?C1z?D1)??2(A2x?B2y?C2z?D2)?0。
?2x?y?z?1?0例4 求直线L：?在平面?：x?2y?z?0上的投影直线的方程。
x?y?z?1?0?分析 写出直线L的平面束方程，由这平面与已知平面?垂直???1 4?3x?y?z?1?0。 ?投影平面为3x?y?z?1?0?投影直线为?x?2y?z?0?
4