loading第8讲 函数与方程
一、知识梳理 1．函数的零点 函数零点的概念 方程的根与函数零点的关系 函数零点的存在性定理 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点 [注意] 函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 零点个数 常用结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 二、习题改编
2
1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
xA．(1，2) 1?C.??e，1?和(3，4) 答案：B
2．(必修1P88例1改编)f(x)＝ex＋3x的零点个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3 B．(2，3) D．(4，＋∞)
(x1，0)，(x2，0) 两个 (x1，0) 一个 无交点 零个 答案：B
1?3．(必修1P92A组T4改编)函数f(x)＝x－??2?的零点个数为 ． 答案：1
1
2
x
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)忽略限制条件致误； (2)错用零点存在性定理致误．
1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选B.由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.
2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是 ．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断(师生共研)