loading第五章 大数定律与中心极限定理
1. 设随机变量?的方差为2.5。利用契贝雪夫不等式估计： P?|??E?|?7.5?的值。 解：由契贝雪夫不等式：
P{|??E?|??}?D??2，又已知D??2.5,??7.5，故
27.5 。
2. 已知某随机变量?的方差D?=1，但数学期望E?=m未知，为估计m，对?进行n次独立观测，得样本观察值?1，?2，…，?n。现用
P{|??E?|?7.5}?2.5?0.044?? 解：因
1nn??i?1i估计m，问当n多大时才可能使P|??m|?0.5?p?? 。
E??1nn?E?i?m,i?1n又?1，?2，…，?n相互独立，故
1n2nD??D(?i?11n?i)?(?D?i)?i?11n，根据契贝雪夫不等式，有
P{|??E?|?0.5}?1?1?4?p,得n?4D?0.52，即
P{|??m|?0.5}?1?4n，
n1?p。 再由
3. 设在由n个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为
12设m表示在这n次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率n与开电概率p=0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n应该是多少？ 解：欲使
亦即，则t~N(0，1)且有
nP{|m?p|?0.01}?0.99。m，即
P{|mn?p|/pq/n?0.01/pq/n}?0.99，
?0.01n?P?t?pq? ?????0.99,???(2.58)?0.995?0.01npq?2.58由，
以p=q=1/2代入可得 n=16641。
4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？
解：用n步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n次射击的独立试验，令?表示n次射击击中目标的次数，则?服从参数为n，p=0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
??P{??2}?P???
??npnp(1?p)?????0.005n??P???np(1?p)??0.004975n?2?np2?0.005n??0.004975n?
?2?0.005n???0.99?1??????0.004975n? ，查表得n≈1791。
5. 随机变量?表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出的次数。试分别
用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n：
??1P??p?2 ?n???
?D???99%?
2解：记
(1)根据契贝雪夫不等式，有
n，由于?~B(n，p)，故E?=np，E?=p，D??D?/n。
??1P??p?n2 ??1D???P{|??E?|2?D?}?1?D?(D?/2)2?1?4n2，
为使
1?4n2?99%，解得 n?20；
?nn(2)以?i表示每次试验时A出现的次数，则?i服从参数为p的二点分布，且E?i=p，D?i=p(1-p)?1/4，而
??E?D?~N(0,1)????i?1?in是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知
，因此有
???P???E???D??D?????D?/2?D??n?????2???2????1??2D???2?D?????，
??1P??p?2 ?n?n?2????1?0.99,?2?为使
查表得n?5.16,即n?6。
6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。
?k???1,?0,第k只鸡蛋能育成种第k只鸡蛋不能育成种鸡,鸡.(k?1,2,?,10000)。
解：定义承机变量
则?k(k?1,2,?,10000)是独立同分布的，且P{?k?1}?0.84?0.9?0.756，
10000表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。
此为n=10000，p=0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
k?1P{?k?0}?1?0.756?0.224。显然
????k??P{??7500}?P???
?7500?np7500?np??????1???np(1?p)np(1?p)np(1?p)?????np???0.92??。
7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误
不多于50个的概率。
第i个字未排错.?0,i?1解：令则
利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
??P{??10}?P???
?i???1,第i个字排错,50000????i是服从参数n=50000，p=0.0001的贝努
10?np????(2.24)?0.9874np(1?p)??。
??npnp(1?p)?10?np??????1???np(1?p)???8. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀
请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。
?i???1,?0,接到第i封邀请信的人到会接到第i封邀请信的人不到会150,.解：令
则?i服从参数p=0.8的二项分布。且
D??24，由中心极限定
????i??i?1Ei=0.8，Di=0.16，表示到会的总人数，则E??120,理得
?110?120??120130?120?P{110???130}?P????242424??
??10???120??P???2.04??2?(2.04)?1?0.9586??2424?? 。
9. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院
检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：(1)以?表示100人中治愈人数，则? ~b(100,0.8) 所求概率为
???100?0.8P???75??P??100?0.8?0.2?
75?100?0.8??100?0.8?0.2?
?1????1.25??0.8944； (2)依题?~b(100,0.7)
???100?0.70P???75??P???100?0.7?0.3则
75?100?0.7??100?0.7?0.3?
?1???1.09??1?0.8621?0.1379。