loading【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解.
解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4，
Q 得
QFt4?．∴QF?t． 45585B E D 14∴S?(3?t)?t，
25A F
P 图3
B E C 即S??t2?t． （3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． A 此时∠AQP=90°． 由△APQ?∽△ABC，得即?t3AQAP?， ACAB2565Q D P 图4
C B 3?t9． 解得t?． 58②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP?∽△ABC，得 即?t5AQAP?， ABACQ D E C A
P 图5
3?t15． 解得t?． 38545或t?． 214B （4）t?【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． 34PC?t，QC?QG?CG?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．
5522222由PC?QC，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?Q D A P 5． 2G C(E) B Q G 图6 3545方法二、由CQ?CP?AQ，得?QAC??QCA，进而可得 ?B??BCQ，得CQ?BQ，∴AQ?BQ?55．∴t?． 22D A P C(E) 图7 ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． 3445(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?
1455 【例5】
如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于
R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
C H Q
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长
B A D P R E 度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
解：（1）
?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．
1AB?3． 2点D为AB中点，?BD??DHB??A?90，?B??B．
?△BHD∽△BAC， ?DHBDBD312?AC??8?． ，?DH?ACBCBC105QR∥AB，??QRC??A?90．
（2）
△RQC∽△ABC， ?C??C，??RQQCy10?x?，??， ABBC610即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：
3x?6． 5①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．
A ?1??2?90，?C??2?90，
D P B 1 M 2 H Q
R E C
??1??C． ?cos?1?cosC?QM484?， ?，?QP51051?3??x?6??42?5??，?x?18． ?12555②当PQ?RQ时，?A D B H
A D B H
E P R Q
C
P E Q
R C 312x?6?， 55?x?6．
③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，
11?CR?CE?AC?2．
24QRBAtanC??，
CRCA315?x?66?x?，．
?5?2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．
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【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。
第二部分 发散思考
【思考1】
如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B?60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是 秒； （3）求y与x之间的函数关系式．
【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.
【思考2】
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ； (2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
yDEA
OCxB
【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。
【思考3】
已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。
这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。
P B
Q C A M N
第三部分 思考题解析