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【例7】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这
项工作。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？
【分析】
1111 ，交换工人A和B后效率减少，交换工人C和D后效率??101011110111111101增加??，同时交换工人A和B，C和D后效率变为，所需时间???10110909909109010181为：1?。 ?9990101最初的效率为
【例8】 一项工程，甲、乙、丙3人合作需13天完成，如果丙队休息2天，乙就要多做4天，或者甲、
乙合作多做1天。这项工程由甲单独做，需要多少天完成？
【分析】 丙2天的工作量等于乙4天的工作量，或等于甲、乙合作1天的工作量。假设乙的工作效
率为1，那么丙的工作效率是2，甲的工作效率是4-1=3，甲、乙、丙的工效比是3:1:2，甲的
工效是
二、
比例法
1311，甲单独做要1????26天完成。
133?1?22626
【例9】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、
乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？
【分析】
根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合
做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时
3间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：(3?2)?， ?15（天）
3?21??1甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需1?????6（天）。
1015??注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。
【例10】
甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独
清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
【分析】
11（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：1?(?)?6小时。
10151312⑵甲清扫全长的?6?，乙清扫了全部的?6?。
105155
?32?⑶东西两城相距12?????60千米。
?55?（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是甲行了全程的
三、
列表法
11:?3:2，101533?32?，乙行了全程的，全程就是12?????60千米。 3?23?2?55?【例11】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，
4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？
【分析】
根据条件，列表如下： 1号 ○ × ○ ○ 2号 ○ ○ × ○ 3号 ○ ○ ○ × 4号 × ○ ○ ○ 工作效率 1 201 211 281 30由表中可知，每个阀门都出现了三次，所以： ??1111??1????????3??18（天）。
20212830????
【拓展】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7
天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
【分析】首先将各个小队之间的组合列成表： 一队 ○ ○ × ○ 二队 ○ × ○ × 三队 ○ ○ × ○ 四队 × × ○ ○ 五队 × ○ ○ × 工作效率 1 121 71 8142 如表：一队、三队在表中出现3次，二队、四队、五队、各出现2次，如果第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中各个小队都被计算了3次。所以五个小队的工
1?11?111作效率之和为：????2???3?，五个小队一起合干需要1??6天。
42?66?1278
【例12】
一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；
如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？
111113； ???)?3?4540363036013111311 甲的工效是：；乙的工效是：； ????360361203603036013111311 丙的工效是：；丁的工效是：。 ????36040903604572确保工程要100天以内完成，只能选择丙队或丁队，然后比较支付的工程款。 【分析】
甲、乙、丙、丁的工效和是：(甲、乙、丙每天需要的工程款2700?45?60元；甲、乙、丁每天需要的工程款2800?40?70；乙、丙、丁每天需要的工程款2880?36?80元；甲、丙、丁每天需要的工程款2700?30?90元。 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为?60?70?80?90??3?100元。
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是100?80?20元，100?90?10元，100?70?30元，100?60?40元。
如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付30?90?2700元，由丁队来完成，需要支付40?72?2880元。相比较，工程应该交给丙队。
巩固精练 1.
【分析】甲工作效率 2.
一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天?
11，乙工作效率，假设甲工作了x天，乙工作了10?x天，那么有 129x10?x??1，解得：x?4。 129抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效
1率相当甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要
5多少天都能完成？
【分析】
13人合抄只需8天就完成了，三人的合作工作效率为；甲每天的工作效率等于乙、丙二
8人每天的工作效率的和，说明甲的工作效率等于乙、丙合作工作效率，且都是三人合作效率的
111一半，即?2?；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的，即甲、乙合作工作效率
8165为丙的5倍，甲=乙+丙，甲+乙=5丙，则乙的工作效率是丙的2倍，那么，乙的工作效率211=×=，所以，乙一人单独抄需要24天才能完成。 31624有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
3.
【分析】
很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做
11乙。设乙的工作量为“1”个单位，张每天完成，李每天完成份。8天，李就能完成甲
15207?11?17工作。此时张还余下乙工作1??8?。由张、李合作需要?????4天；所以完成
15?1520?1515所有工作需要8?4?12（天）。
4.
一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半，现在甲乙两队合做若干天后，由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等，则共用多少天？
【分析】
甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半，,所以甲队做3天相当于乙队
22做2天。即甲的工作效率是乙的，从而乙独做12??8天完成。所说两段所用时间相等,每
332??段时间应是8??1?1??天，因此共用3×2=6天。
3??