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例６ 给定一个半径为１的圆，若用半径为住．
的圆去覆盖它，问至少要几个才能盖
问题需要我们在二个方面给予回答：一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆；二是少于确定的数目，则全部小圆不能覆盖大圆．文档收集自网络，仅用于个人学习 对于不能覆盖的推断，以下两个原则是常用的：
原则１ 若图形Ｆ的面积大于图形Ｇ的面积，则图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ． 原则２ 直径为ｄ的图形Ｆ不能被直径小于ｄ的图形Ｇ所覆盖． 两原则十分显然，不再证明．
四个半径为的小圆面积和为π，恰等于大圆面积，而四小圆间若不重迭，则覆盖
其它图形时，还须排除中间所夹的不属于四圆的部分，换句话说，四小圆所覆盖大圆部分面积必小于大圆自身面积，根据法则１，不可能覆盖大圆，少于四个小圆更不可能．文档收集自网络，仅用于个人学习 若有五个小圆，我们改变角度考虑，可将大圆周分为六等分．因小圆直径为１，五个小圆无法盖住大圆周，而六个圆周恰好盖住．文档收集自网络，仅用于个人学习 还需考虑大圆圆心没有被盖住，再添加一个小圆，符合要求！
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这说明：至少七个以为半径的小圆方能覆覆盖半径为1的一个大圆.事实上这样的
六个小圆若盖住大圆周，则大圆心不能被覆盖．若其中一小圆盖住大圆圆心，那么该圆又至多盖住大圆周上一点也就是六个小圆无法覆盖大圆，而我们作大圆的内接正六边形，分别将小圆圆心与各边中点重合，再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合即可盖住大圆，如图４５－７，以下给出证明：文档收集自网络，仅用于个人学习 对于正△ＯＡＢ，设ＯＡ、ＯＢ中点Ａ１、Ｂ１，那么∠ＡＡ１Ｂ＝∠ＡＢ１Ｂ＝９０°，故四边形ＡＡ１Ｂ１Ｂ被以ＡＢ为直径的圆覆盖．另外，△ＯＡ１Ｂ１被小圆⊙Ｏ所覆盖．类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆．文档收集自网络，仅用于个人学习 ３．直线形图形覆盖别的图形的问题
解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决．文档收集自网络，仅用于个人学习 例７ 证明直径为１的图形Ｆ可被单位正方形覆盖．
分析 先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间，再向内收缩．
证明 取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形Ｆ夹在中间，再将位于下方的直线ｌ２向上平移，直至遇到图形Ｆ上点为止，中图４５－８中ｌ２′处．接着又将ｌ１向下平移至与ｌ２′相距为１的ｌ１′处止．因图形Ｆ直径为１．故图形Ｆ仍被二直线ｌ１′，ｌ２′所夹．同样采用先左后右的顺序，将沿直线ｍ１、ｍ２平移至ｍ１′、ｍ２′处，ｍ１′、ｍ２′相距为１，而图形Ｆ依然夹在直线ｍ１′，ｍ２′中间，从而直线ｌ１′、ｌ２′、ｍ１′、ｍ２′所围成单位正方形即可覆盖图形Ｆ．文档收集自网络，仅用于个人学习 运用上述方法，我们可进一步解决以下问题：
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例８ 直径为１的图形Ｆ可被一个边长为的正三角形覆盖，试证明之．
证明 作三对相距为１的平行直线ｍ１、ｍ２、ｎ１、ｎ２，ｌ１、ｌ２，相交直线所成角为６０°，围成可覆盖图形Ｆ的六边形及正△Ａ１Ｂ１Ｃ１，正△Ａ２Ｂ２Ｃ２（具体作法可参照例７）．如图４５－９．设Ｐ为Ｆ中任意一点，它到六边形各边距离依次为ｘ、ａ、ｙ、ｂ、ｚ、ｃ．又设正△Ａ１Ｂ１Ｃ１的高为ｈ１，正△Ａ2Ｂ２Ｃ２的高为ｈ２．因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高，得文档收集自网络，仅用于个人学习 ａ＋ｂ＋ｃ＝ｈ１， ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ２． 相加,得
（ｘ＋ｂ）＋（ｙ＋ｃ）＋（ｚ＋ａ）＝ｈ１＋ｈ２， 又ｘ＋ｂ＝１，ｙ＋ｃ＝１，ｚ＋ａ＝１， ∴ｈ１＋ｈ２＝３．
根据抽屉原则,ｈ１、ｈ２中有一不大于,不妨设,即正△A１B１C１的高不大于
,那么它的边长
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因此图形Ｆ可被边长不大于的正三角形即正△Ａ1Ｂ１Ｃ１所覆盖.
4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式
所谓图形Ｆ能嵌入图形Ｇ,其本质就是图形Ｇ能覆盖图形F.
例9试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为的圆.
分析 四边形内存在到各边距离不小于的点.
证明 如图45-10,设四边形ABCD面积为Ｓ,周长为Ｐ.各边长分别为ａ1、ａ２、ａ３、
ａ４.现以ａ１、ａ２、ａ３、ａ４为长,积是文档收集自网络，仅用于个人学习 为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面
即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部
存在点O没有被矩形覆盖,那么以点O为圆心,
文档收集自网络，仅用于个人学习 为半径的圆可嵌入四边形ABCD中.
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例10 在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.文档收集自网络，仅用于个人学习 证明 首先证明大圆中还能嵌入1个半径为1的小圆.先将大圆的半径收缩为17,而将半径为3的圆膨胀成半径为4的圆,此时大圆面积变为文档收集自网络，仅用于个人学习 π×17＝289π.
16个半径为4的圆的面积是 π×4×16=256π. 289π-256π=33π.
这说明大圆中嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入半径为1的一个小圆,如图45-11所示.
再将大圆的半径收缩为17,半径为3的圆的半径膨胀为4,半径为1的圆膨胀为2,由于
289π-256π-4π=29π,所以大圆中除嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入两个半径为1的圆.依此类推,由于289π-256π-4π×8=π＞0,文档收集自网络，仅用于个人学习 故大圆还可嵌入九个半径为1的小圆. 将图形收缩、膨胀是解嵌入问题一种重要方法.
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