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专题三：定积分 1、定积分的概念 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点
⑷?1dx?lnx?c xxx⑸?edx?e?c
a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点
ax?c(a?0,a?1) ⑹?adx?lnax⑺?sinxdx??cosx?c ⑻?cosxdx?sinx?c ⑼?sinaxdx??⑽?cosaxdx??i(i?1,2,?,n)，作和式
Ln??f(?i)?x??i?1i?1nnb?a当n??时，上f(?i),，
n1cosax?c(a?0) a述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.记作
1sinax?c(a?0) ab?af(x)dx，即
b4、定积分的性质 ⑴⑵
?babkf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）；
a?baf(x)dx?lim?n??i?1nb?af(?i)，这里，a与b分别叫n?abf(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dx；
aacbacbb做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果F?(x)?f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则
⑶?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（其中a?c?b);
a⑷利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是[?a,a]上的奇函数,则?f(x)dx?0;若f(x)是[?a,a]上的偶
?aa函数,则?f(x)dx?2?f(x)dx.
?a0aa5、定积分的几何意义 定积分
?baf(x)dx表示在区间[a,b]上的曲线
?baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)，
by?f(x)与直线x?a、x?b以及x轴所围成的平面
图形（曲边梯形）的面积的代数和，即
【其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，因为
?baf(x)dx?Sx轴上方－Sx轴下方.（在x轴上方的面积取
?F(x)?C???F?(x)?3、常用定积分公式 f(x)】
⑴?0dx?c（c为常数） ⑵?1dx?x?c
x??1?c(???1)⑶?xdx???1
?正号,在x轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
⑶写出定积分表达式；
⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和. 7、定积分的简单应用 ⑴定积分在几何中的应用：
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几种常见的曲边梯形面积的计算方法: （1）x型区域：
①由一条曲线y?f(x)(其中f(x)?0）与直线
④由两条曲线y?f(x)，y?g(x)（f(x)?g(x))与直线x?a,x?b(a?b)所围成的曲边梯形的面积：
x?a,x?b(a?b)以及x轴所围成的曲边梯形的面
S??f(x)dx??g(x)dx???f(x)?g(?x)dx.（如
aaabbbbf(x)dx（如图（1）积：S＝?a）；
图（1）
②由一条曲线y?f(x)(其中f(x)?0）与直线x?a,x?b(a?b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝
图（2）
③由一条曲线y?f(x) 【当a?x?c时，f(x)?0?当c?x?b时，f(x)?0?图（4））
图（4）
（2）y型区域：
①由一条曲线y?f(x)(其中x?0与直线）y?a,y?b(a?b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由y?f(x)得x?h(y)，然后利用S＝h(y)dy求
a?baf(x)dx＝－f(x)dx（如图（2））；
a?b?b?cabf(x)dx?0; f(x)dx?0.】
出（如图（5））；
图（5）
②由一条曲线y?f(x)(其中x?0与直线）y?a,y?b(a?b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由y?f(x)先求出x?h(y)，然后利用
?cS＝h(y)dy＝－h(y)dy求出（如图（6））；
aa?b?b与直线x?a,x?b(a?b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝?caf(x)dx?c?bcf(x)dx
＝
?af(x)dx??f(x)dx.（如图（3））；
cb
图（6）
③由两条曲线y?f(x)，y?g(x)与直线
y?a,y?b(a?b)所围成的曲边梯形的面积，可由y?f(x)，y?g(x)先分别求出x?h1(y)，
图（3）
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然后利用S＝|h1(y)－h2(y)|dy求出（如x?h2(y)，
a?b图（7））；
图（7）
⑵定积分在物理中的应用： ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v?v(t)(v(t)?0)在时间区间?a,b?上的定积 分，即S??bav(t)dt..
②变力作功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x?a移动到x?b(a?b)， 那么变力F(x)所作的功W?2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：
?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ?检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都
?baF(x)dx.
专题四：推理与证明
知识结构
合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
?证明（视题目要求，可有可无）.
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归纳推理 类比推理 具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M ·a S 演绎推理 比较法 直接证明
综合法 分析法 反证法 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的
a?bi??c?di???ac?bd???bc?ad?i； ?推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
a?bi?a?bi??c?di?? 反证法法证明一个命题的一般步骤： ⑶复数的除法： c?di?c?di??c?di?(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； ?ac?bd???bc?ad?i?ac?bd?bc?adi
(3)（归谬）断言假设不成立； ?222222c?dc?dc?d(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法 （类似于无理数除法的分母有理化?虚数除法的分数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 母实数化） 用数学归纳法证明命题的步骤; 5、常见的运算规律 *（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0?N)(1)z?z;(2)z?z?2a,z?z?2bi; 时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n?k(k?n0,k?N*)时命
22题成立，推证当n?k?1时命题也成立. (3)z?z?z?z?a2?b2;(4)z?z;(5)z?z?z?R 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开
始的所有正整数n都成立.
(6)i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1;用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几21?i1?i1?i2??何中的计算问题等. (7)?1?i???i;(8)?i,??i,??i
专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位i；
⑵复数的代数形式z?a?bi1?i1?i???2?(9)设???1?3i是1的立方虚根，则2(a,b?R)；
1????2?0，?3n?1??,?3n?2??,?3n?3?1
6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
一一对应复数z?a?bi?????复平面内的点Z（a,b) ⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类 复数z?a?bi?a,b?R?
?实数(b?0)??纯虚数(a?0,b?0) ??虚数(b?0)?非纯虚数(a?0,b?0)??3、相关公式 ⑴a?bi?c?di?a?b,且c?d ⑵a?bi?0?a?b?0 ⑶z?a?bi?????复数z?a?bi?????平面向量OZ 一一对应
专题六：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有
a2?b2
m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方
法??在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有N?m1?m2???mn种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有
⑷z?a?bi
z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算 ⑴复数加减法：?a?bi???c?di???a?c???b?d?i； ⑵复数的乘法：
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m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方
法??做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有N?m1?m2???mn种不同的方法.