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30．设D是由曲线y?lnx,x?e及x轴所围成的的平面区域
求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V． 解:区域D如图阴影部分所示。曲线y?lnx与x轴及 y x?e的交点坐标分别为(1,0),(e,1) (e,1) （1）平面区域D的面积
y=lnx eS??lnxdx?(xlnx?x)|?1.
11e O 1 e x （2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V
V???e2?1???(ey)2dy01??e???edy???e?0212y2?2e2y1|0
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?2(e2?1).31．证明不等式：当a?b?e时，
blnba??(e?2.71828). alnab证明: 设f(x)?xlnx,x?(e,??),则f?(x)?1?lnx?0,x?(e,??), 所以f(x)?xlnx在x?(e,??)上单调递增,从而当当a?b?e时,有
lnba?; lnablnx1?lnx,x?(e,??),则g?(x)??0,x?(e,??), 令g(x)?xx2lnx在x?(e,??)上单调递减,从而当当a?b?e时,有 所以g(x)?xlnalnbblnb?f(a)?f(b),即,从而?. abalnaf(a)?f(b),即alna?blnb,即
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综上所述:当a?b?e时，有
blnba??. alnab10 / 10