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第4章 地基变形计算
一、知识点： 4.1 概述
4.1.1 地基强度的意义 4.1.2 土的强度成果的应用 4.2 土的极限平衡条件
4.2.1 土体中任一点的应力状态 4.2.2 摩尔一库伦破坏理论 4.2.3 土的极限平衡条件 4.3 抗剪强度指标的确定
4.3.1 直接剪切试验 4.3.2 三轴压缩试验 4.3.3 无侧限抗压强度试验 4.3.4 十字板剪切试验
二、考试内容： 重点掌握内容
1．土的抗剪强度的概念及其基本规律，抗剪强度指标的来源及影响因素。 2．用莫尔圆表示土中某点的应力状态。 一般掌握内容
抗剪强度指标的测定方法。
三、本章内容： §4.1 概述
土的抗剪强度是指土体抵抗剪切破坏的极限能力，是土的重要力学性质之一。工程中的地基承载力、挡土墙土压力、土坡稳定等问题都与土的抗剪强度直接相关。
建筑物地基在外荷载作用下将产生剪应力和剪切变形，土具有抵抗这种剪应力的能力，并随剪应力的增加而增大，当这种剪应力达到某一极限值时，土就要发生剪切破坏，这个极限值就是土的抗剪强度。如果土体内某一部分的剪应力达到土的抗剪强度，在该部分就开始出现剪切破坏，随着荷载的增加，剪切破坏的范围逐渐扩大，最终在土体中形成连续的滑动面，地基发生整体剪切破坏而丧失稳定性。
本章主要介绍土的强度理论、抗剪强度的测定方法以及饱和粘性土和无粘性土的抗剪强度性状，并简要介绍孔隙压力系数和应力路径等问题。 4.1.1 地基强度的意义
为了保证建筑工程安全与正常使用，除了防止地基的有害变形外，还应确保地基的强度足以承受上部结构的荷载。
各类建筑工程设计中，为了建筑物的安全可靠，要求建筑地基必须同时满足下列两个技术条件： （1）地基变形条件 包括地基的沉降量、沉降差、倾斜与局部倾斜，都不超过国家《规范》规定的地基变形允许值；
（2）地基强度条件 在建筑物的上部荷载作用下，确保地基的稳定性，不发生地基剪切或滑动破坏。
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这两个技术条件中，第一个地基变形条件已在第3章中阐述，本章着重研究地基强度问题。为便于理解地基强度问题的具体内容，先对几个国内外地基强度破坏的工程实例进行分析：
在“绪论”中叙述的加拿大特朗斯康大型谷仓与美国纽约汉森河旁一座水泥仓库的严重事故，都是地基强度破坏的典型工程实例。分析这两起灾难性事故的原因，均为仓库满载时超过地基强度的极限荷载，引起地基整体滑动破坏。这是设计工程师的失误。
另一工程实例为南美洲巴西的一幢11层大厦，这幢高层建筑长度为29m，宽度为12m。地基软弱，设计桩基础。柱长21m，共计99根桩。此大厦于1955年动工，至1958年1月竣工时，发现大厦背面产生明显沉降，如图4-2所示。1月 30日，大厦沉降速率高达4mm/h。晚间 8时沉降加剧，在 20秒钟内整幢大厦倒塌，平躺在地面。分析这一起重大事故的原因：大厦的建筑场地为沼泽土，软弱土层很厚；邻近其它建筑物采用的桩长为26m，穿透软弱土层，到达坚实土层，而此大厦的桩长仅21m，桩尖悬浮在软弱粘土和泥炭层中，必然导致地基产生整体滑动而破坏。
又一工程事故实例为挪威弗莱德里克斯特T8号油罐。该油罐的直径为25．4m，高度为19.3m，容重为6 230rn3。1952年快速建造这座大油罐。竣工后试水，在35小时内注入油罐的水量约6000m3，因荷载增加太快，两小时后，发现此油罐向东边倾斜，同时发现油罐东边的地面有很大隆起。事故发生后，立即将油罐中的水放空，量测油罐最大的沉降差达508mm，最大的地面隆起为406m。，同时地基位移扩展约10．36m。事后查明：油罐的地基为海积粉质粘土和海积粘土，高灵敏度，且油罐东部地基中存在局部软粘土层。在油罐充水荷载为55 000kN，相当于承受110．9kPa均布荷载时，油罐地基通过局部软粘土层产生滑动破坏。由此吸取教训，采取分级向油罐充水的办法，使每级充水之间的间隔时间能使地基发生固结。1954年，油罐正式运用，没有发现新问题。
由此可见，对地基土的强度问题如不注意，可能发生上述地基滑动事故。尽管这类地基强度事故的数量比起地基变形引起的事故要少，但其后果极为严重，往往是灾难性的破坏，难以挽救。为此，建设各部门对地基土的强度问题都应当予以高度的重视。 4.1.2 土的强度成果的应用
土的强度问题的研究成果在工程上的应用很广，归纳起来主要有下列3方面： 1．地基承载力与地基稳定性
地基承载力与地基稳定性，是每一项建筑工程都遇到的问题，具有普遍意义。这是本章要研究解决的课题。
当上部荷载N较小，地基处于压密阶段或地基中塑性变形区很小时，地基是稳定的。 若上部荷载N很大，地基中的塑性变形区越来越大，最后连成一片，则地基发生整体滑动，即强度破坏，这种情况下地基是不稳定的。 2．土坡稳定性
土坡稳定性也是工程中经常遇到的问题。土坡包括两类：
（1）天然土坡 天然土坡为自然界天然形成的土坡，如山坡、河岸、海滨等。
如在山麓或山坡上建造房屋，一旦山坡失稳，势必毁坏房屋。如香港宝城大厦发生山坡滑动冲毁大厦的灾难；又如大连市南山山坡滑动，埋没坡下的民房，应引以为戒。又若在河岸或海滨建造房屋，可能导致岸坡滑动，连同房屋一起滑动破坏。
（2）人工土坡 人工土坡为人类活动造成的土坡，如基坑开挖、修筑堤防、土坝、路基等等。 如基坑失去稳定，基坑附近地面上的建筑物和堆放的材料，将一起滑动入基坑。若路基发生滑动，
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可能连同路上行驶的车辆一起滑动，导致人员伤亡。
由此可见，土坡稳定性极为重要。这一问题，将在第5章中论述。 3．挡土墙及地下结构上的土压力
在各类挡土墙及地下结构设计中，必须计算所承受的土压力的数值，土压力的计算建立在强度理论的基础上。关于上压力理论和计算，也将在第5章中研究。
上述土的强度在工程上应用的3个方面，非指土的抗压强度或抗拉强度，而特指土的抗剪强度。这是因为地基受荷载作用后，土中各点同时产生法向应力和剪应力；其中法向应力作用将使土体发生压密，这是有利的因素；而剪应力作用可使土体发生剪切，这是不利的因素。若地基中某点的剪应力数值达到该点的抗剪强度，则此点的土将沿着剪应力作用方向产生相对滑动，此时称该点已发生强度破坏。如果随着外荷增大，地基中到达强度破坏的点越来越多，即地基中的塑性变形区的范围不断扩大，最后形成一个连续的滑动面，则建筑物的地基会失去整体稳定而发生滑动破坏。
为了对建筑地基的稳定性进行力学分析和计算，需要深入研究土的强度问题，包括：了解土的抗剪强度的来源、影响因素、测试方法和指标的取值；研究土的极限平衡理论和土的极限平衡条件；掌握地基受力状况和确定地基承载力的途径。 §4.2 土的极限平衡条件
土的抗剪强度问题涉及面很广，世界各国专家教授进行了大量的科学研究，许多问题还在探索之中。现将土的抗剪强度的基本内容和在建筑工程中常见的问题阐述如下。
前已说明，土的强度破坏通常是指剪切破坏。当土体的剪应力?等于土的抗剪强度?f时的临界状态称为“极限平衡状态”。
土的极限平衡条件，是指土体处于极限平衡状态时土的应力状态和以上的抗剪强度指标之间的关系式，即?1、?3与内摩擦角?、粘聚力c之间的数学表达式。
本节将介绍最适用的土的强度理论，推导无粘性土和粘性土的极限平衡条件。为便于理解，先从最简单的情况着手研究。 4.2.1 土体中任一点的应力状态 1．最大主应力与最小主应力
是简单的情况：假定土体是均匀的、连续的半空间材料，研究水平地面下任一深度z处M点的应力状态。如图4-4（a）所示。由M点取一微元体dxdydz，并使微元体的上、下面平行于地面。因这微元体很微小，可忽略微元体本身的质量。现分析此微元体的受力情况，将微元体放大，如图 4-4（b）所示。
微元体顶面和底面作用力，均为
?1??z （4-1） 式中?1——作用在微元体上的竖向法向应力，即土的自重应力，kPa。 微元体侧面作用力为；
?2??3?K0?z （4-2） 式中?2、?3——作用在微元体侧面的水平向法向应力，kPa； K0——土的静止侧压力系数，小于1。
因为土体并无外荷作用，只有土的自重作用，故在微元体各个面上没有剪应变，也就没有剪应力，凡是没有剪应力的面称为主应面。作用在主应面上的力称为主应力，因此，图4．4中的?1为最大主
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应力，?3为最小主应力。同时，中主应力?2=?3。
图4-4 土体中任一点的应力 2．任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面mn，与大主应面即水平面成a角，斜面mn上作用法向应力? 和剪应力?，如图 4-4（c）（书109页图4－3b）所示。现在求?与?的计算公式。
取dy—1，按平面问题计算。设直角坐标：以m点为坐标原点o，ox向右为正，oz向下为正。根据静力平衡条件，取水平与竖向合力为零。
?x?0：??dl?sin???3?dl?sina???dl?cosa?0 （a） ?y?0：??dl?cosa??1?dl?cosa???dl?sina?0 （b） 解联立方程（a）和（b），可求得任意截面mn上的法向应力?与剪应力?：
11???(?1??3)?(?1??3)cos2a??22?1???(?1??3)sin2a?2? 书109页4-5
式中 ?——与大主应面成 a角的截面 mn上的法向应力，kPa；
?——同一截面上的剪应力，kPa。
3．用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由公式（4-3）即可计算已知a角的截面上相应的法向应力?与剪应力?。若斜面与主应面的夹角变化为?i（i=1、2、3……）时，可重复应用公式书109页4-5计算相应的?i与?i。 计算工作量十分繁重。
现用摩尔应力圆则可简便地计算任意?角时相应的?与?值，方法如下： 取?—?直角坐标系。在横坐标o?上，按一定的应力比例尺，确定?1和?3的位置，以?1一?3为直径作圆，即为摩尔应力圆，如图4-5所示（书109页图4-3c）。取摩尔应力圆的圆心为o1，自o1逆时针转2?角，得半径o1a。a点为摩尔圆圆周上一点。此a点的坐标?，?，即为M点处与最大主应面成?角的斜面mn上的法向应力和剪应力值。证明如下：
图4-5 摩尔应力圆 由图4-5可知
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由此可见，用摩尔应力圆可表示任意斜面上的法向应力?与剪应力?，简单明了。
4.2.2 摩尔一库伦破坏理论
前已说明，土的强度特指抗剪强度，土体的破坏为剪切破坏。关于材料强度理论有多种，不同的理论适用于不同的材料。通常认为，摩尔一库伦理论最适合土体的情况。
?摩尔强度理论认为材料受荷载发生破坏是剪切破坏，在破坏面上的剪应力f是法向应力?的函数：
??f(?) f
由此函数关系所确定的曲线称为摩尔破坏包线。
库伦通过一系列土的强度实验，于1776年总结出土的抗剪强度规律：
? 砂土的抗剪强度f与作用在剪切面上的法向压力?成正比，比例系数为内摩擦系数。粘性土的
?抗剪强度f比砂土的抗剪强度增加一项土的粘聚力。即： 砂土：
书107页式4-1
粘性土：?f?c???tg? 书107页式4-2 式中?f—土体破坏面上的剪应力，即土的抗剪强度，kPa；
?—作用在剪切面上的法向应力，kPa； c—土的粘聚力(内聚力)， kPa； ?—土的内摩擦角，度。
公式书107页式4-1与公式书107页式4-2为著名的库伦定律，如图4-8（书108页图4-2a和b）所示。实际上，库伦定律是摩尔强度理论的特例。此时摩尔破坏包线为一条直线，即：
??f(?)?c???tg? f
?f??tg?
图4-8 库伦定律 这种以库伦定律表示摩尔破坏包线的理论称为摩尔一库伦破坏理论，此理论在世界各国得到广泛应用。
4.2.3 土的极限平衡条件
1．地基中任意平面mn上的应力状态
在地基中取任意平面mn，此平面上作用着总应力?0。此总应力?0，可分解为两个分力：垂直于mn面的法向应力?和平行于mn面的剪应力?，如图4-9所示。 现将作用在平面mn上的剪应力?，与地基土的抗剪强度?f进行比较：
当?＜?f时，平面mn为稳定状态；
?＞?f时，平面mn发生剪切破坏； ? =?f时，平面mn处于极限平衡状态。
如地基某点上的剪应力?，由小不断增大，趋向临界状态。试
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