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【详解】
(1)∵f??1??a?b?1?0， ∴b=a+1.
∵f(x)≥0对任意实数x恒成立，
a?0??∴?， 222??b?4a?a?1?4a?a?1?0??????解得a=1．
2
∴f(x)=x+2x+1.
2?x?1,x?0???Fx?故???． 2????x?1?,x?0(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．
由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得?解得k≤-2或k≥6．
故k的取值范围为???,?2?6,???． (3)∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴b=0． 又a>0,
∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数．
对于F(x),当x>0时，?x?0,F??x???f??x???f?x???F?x?；
2?k2?k??2或??2， 22???x?0,F??x??f??x??f?x???F?x?， 当x<0时, ∴F??x???F?x?,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数， ∴F?x?在???,???上为增函数． 由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0, 则有m>-n>0，
∴F?m??F??n???F?n?，
答案第13页，总14页
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∴F?m??F?n??0．
【点睛】
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围时，要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，进而得到关于参数的不等式即可．
（2）分段函数的奇偶性的判定要分段进行，在得到每一段上的函数的奇偶性后可得结论．
答案第14页，总14页