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图5－1－14
17.?观察图5－1－15中的图形，寻找对顶角(不含平角)： (1)两条直线相交(如图①)，图中共有________对对顶角； (2)三条直线相交于一点(如图②)，图中共有________对对顶角； (3)四条直线相交于一点(如图③)，图中共有________对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可构成________对对顶角；
(5)若有2019条直线相交于一点，则可构成________对对顶角．
图5－1－15
解题突破
?本题可通过平移的方法，把n条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为n条直线相交最多有多少个交点的问题(即n条直线两两相交)．因为每个交点处有两对对顶角，所以对顶角的对数是交点个数的2倍.
18.?两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(如图5－1－16)．现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角”只能是30°，60°或90°，问：平面上最多有多少条直线？当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？
图5－1－16
解题突破
?将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的图形，按“夹角”定义
看能画出多少条直线.
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典题讲评与答案详析
1．D 2.C
3．解：由邻补角的性质，得∠AOC＋∠AOD＝180°.
由∠AOC∶∠AOD＝1∶2，得∠AOD＝2∠AOC，∠AOC＋2∠AOC＝180°，解得∠AOC＝60°.由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝60°.
4．B [解析]∠1是直线AB，EF相交于点O形成的角，所以它的邻补角与直线CD无关，即它的邻补角是∠BOE或∠AOF.
5．D [解析] 把直角的一边反向延长，可得这个直角的邻补角．互补的两个角不一定是邻补角，但邻补角一定互补．若一个角是锐角，则它的邻补角是钝角且大于这个锐角；若一个角是直角，则它的邻补角等于它本身；若一个角是钝角，则它的邻补角是锐角且小于这个钝角．
6．C [解析] 设∠AOB＝x°，则∠BOC＝180°－x°.又因为∠AOB比∠BOC大18°，所以∠AOB－∠BOC＝18°，即x°－(180°－x°)＝18°，解得x＝99.
2
7．140 [解析] 由题意，得∠2＋∠2＝180°，解得∠2＝140°.
7
8．C [解析] 由对顶角相等，可知∠1＋∠2＋∠3正好是一个平角的度数． 9．120 [解析] 由对顶角相等，可得2x＋40＝3x，解得x＝40，所以∠BOC＝120°. 10．对顶角相等
11．B [解析] 因为∠BOF＝140°，所以∠AOF＝180°－140°＝40°. 因为∠BOC＝130°，所以∠AOC＝50°. 因为OE是∠AOC的平分线， 所以∠AOE＝∠EOC＝25°， 所以∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝65°.
112．90 [解析] 因为OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠COD＝∠
211
AOC，∠COE＝∠BOC.因为∠BOC＋∠AOC＝180°，所以∠COE＋∠COD＝(∠BOC＋
22∠AOC)＝90°.
13．62 [解析] 由∠AOE＋∠BOE＝180°，OF平分∠AOE，∠DOE＝∠BOD，可得∠DOF＝∠COF＝90°.又因为∠AOC＝28°，所以∠BOD＝∠DOE＝∠AOC＝28°，所以∠EOF＝∠AOF＝62°.
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14．解：因为OC平分∠AOF，∠AOF＝40°， 1
所以∠AOC＝∠AOF＝20°，所以∠BOD＝90°.
2因为∠EOB＝90°，所以∠EOD＝∠EOB－∠BOD＝70°. 15．解：如图，
因为∠1＝40°，所以∠6＝40°.
因为∠6＋∠BOC＝180°，∠BOE与∠BOC互补， 所以∠6＝∠BOE＝40°， 所以∠BOC＝140°， 所以∠COE＝100°.
因为OM平分∠BOE，所以∠2＝∠3＝20°， 所以∠COM＝120°.
因为∠CON∶∠NOM＝2∶3， 3所以∠NOM＝120°×＝72°，
5所以∠NOE＝72°－20°＝52°.
16．解：方案一：如图①所示，延长AB，量出∠CBD的度数．由邻补角的定义，可得∠ABC＝180°－∠CBD(也可延长CB)．
方案二：如图②所示，分别延长AB，CB，量出∠DBE的度数，由对顶角相等，可得∠ABC＝∠DBE.
17．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1) (5)4074342
[解析] 图①中有两条直线，共有2对对顶角；图②中有三条直线，我们可以把直线通
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过平移，得到右图，三条直线相交最多有3个交点，故共有6对对顶角；以此类推，图③中3×4
有四条直线相交，最多有＝6(个)交点，故共有12对对顶角……n条直线相交，最多有
2n（n－1）
个交点，故共有n(n－1)对对顶角．故若有2019条直线相交于一点，则可构成22019×2018＝4074342(对)对顶角．
18．解：因为“夹角”只能是30°，60°或90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证每两条直线的“夹角”为30°的倍数，即为30°，60°或90°.
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现两条直线平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转了5次，5×30°＝150°，若再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°＝180°，这样第7条直线就与第1条直线平行或重合．如图：
所以平面上最多有六条直线．
第2条至第6条直线与第1条直线的“夹角”的和是30°＋60°＋90°＋60°＋30°＝270°， 第3条至第6条直线与第2条直线的“夹角”的和是270°－30°＝240°； 第4条至第6条直线与第3条直线的“夹角”的和是270°－30°－60°＝180°； 第5条和第6条直线与第4条直线的“夹角”的和是60°＋30°＝90°；
第6条直线与第5条直线的“夹角”的和是30°，则270°＋240°＋180°＋90°＋30°＝810°. 即当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是810°. 【关键问答】
①(1)有公共顶点；(2)其中一边为公共边，另一边互为反向延长线；(3)两个邻补角的和为180°.
②(1)有公共顶点；(2)角的两边分别互为反向延长线；(3)对顶角相等． ③(1)互为邻补角的两个角的和为180°；(2)对顶角相等．