loading高等几何
——论射影平面
学号：200908140150 姓名：曾 祥 超 班级：09 级（1）班
[内容提要] 射影平面就是2维射影空间。它可以视为平面添上一条无穷
远的直线。它是代数几何、射影几何里最基本的对象。 黎曼的一个主要结论就是：任何代数曲线（也就是黎曼曲面）都可以投影到射影平面上，使得投影出来的曲线最多只含有通常二重点作为奇点。
著名的Bezout定理就是：射影平面上，一条n次曲线和一条m次曲线相交的点数（切点重复计算）恰好是mn个。
射影平面上的二次曲线全都同构于射影直线。 因此我们中学里学的椭圆、双曲线、抛物线在射影平面中看来，不过是同一条直线的不同部分。射影平面是在欧氏空间，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。 （关键字）：射影直线 射影平面 齐次坐标 对
偶原理 正文 ： 一、射影直线：
在欧氏直线上添加了一个无穷远点后所得到的直线称为
仿射直线。
如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点等同看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。射影直线是一条封闭直线，通常用圆作为射影直线的模型。 二、射影平面：
欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。
下面我们给出欧氏空间的仿射平面的模型：
设有以O为球心的球面，过球心O作平面?交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过O的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆C为无穷远直线。半球面上的大圆弧为普通直线，相交于C上同一点的半大圆弧就是平行直线。
在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。射影平面也是封闭的。
因为射影直线是封闭的，一个点不能把它分成两部分，要两个不同的点才能把射影直线分成两段。射影直线上的三个点，不能排成唯一的顺序。同样，射影平面也与欧氏平面很不相同。 三、齐次坐标： 设欧氏直线上普通点P的坐标为x，则满足
x1x2=x
的两个数
x1 ，x2（x2≠0）叫做点P的一维齐次坐标，记作P（x1 ，x2）。x称为点P的非齐次坐标。而当x2=0时，即（x1，0）（其中x1≠0）或（1，0）规定为直线上无穷远点的齐次坐标。
显然：
（1）不同时为0的两个数x1 ，x2唯一确定一点（x1 ，
x2），或记x≡（x1 ，x2）。而（0，0）不表示任何点。
（2）若?≠0，则（?x1 ，?x2）与（x1 ，x2）表
示同一点，也就是任意一点的一维齐次坐标有无穷多组。
（3）如果x2≠0，则（x1 ，x2）决定轴上的一个普通点。它的非齐次坐标为x
2x1（4）如果x2=0，x1≠0，则（x1，0）或（1，0）规定为轴上无穷远点。无穷远点无非齐次坐标。 笛氏坐标为（x，y）点的二维齐次坐标（x1，x2，x3）是指任意满足x=
x1x3，y=xx23的三个数x1，x2，x（，3x3≠0）
记作P（x1，x2，x3）。x，y称为点P的非齐次坐标。
设有直线
y=kx+b
当k不变动而b变动时，方程表示一组平行线。其上点的非齐次坐标为（x, kx+b）,其齐次坐标为（x, kx+b，1），或（1，k+b/x,1/x）,当从两个方向趋于无穷远时，得P的齐次坐标的极限为（1，k, 0）,这组数与b无关，只与k有关，所以它决定以k为方向的一组平行直线上的无穷远点的齐次坐标（? ，?k，0）。
任意三个有序实数x1，x2，0，其中x?k，（x1≠0）
1决定一个以k所确定的方向上的无穷远点，规定该无穷远点的齐次坐标为（x1，x2，0）或（1，k, 0）。当x1=0时，（0，
x2