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成绩 课 程 复变函数 （A） 系 别 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日 专业班号 姓 名 学 号 期中 期末 一. 填空（每题3分，共30分） 1． 3i＝ 2． z0＝0是函数f(z)?cosz?1z5的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. f(z)?x3?3x2yi?3xy2?y3i,则f?(z)＝ 4. Res[1zsinz,0]? 5. 函数w?sinz在z???4处的转动角为 6. 幂级数?(cosin)zn的收敛半径为R=____________ n?017. ?zsinzdz? 08．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则?Cez1z2dz? 9．函数f?z??10． zz?14在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ ? ?|z|?dz32(z?1)(z?4)22
二．判断题（每题3分，共30分）
1．f(z)?zzn在z?0解析。【 】
2．f(z)在z0点可微，则f(z)在z0解析。【 】 3．f(z)?ez是周期函数。【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】
???5． 设级数?cn收敛，而?|cn|发散，则?cnzn的收敛半径为1。【 】
n?0n?0n?06． tan()能在圆环域0?|z|?R(0?R???)展开成洛朗级数。【 】
z17． n为大于1的正整数, Lnzn?nLnz成立。【 】
8．如果函数??f(z)在z0解析，那末映射??f(z)在z0具有保角性。【 】 9．如果u是D内的调和函数,则f?1?u?x?i?u?y是D内的解析函数。【 】
10．
?|z|?132z(z?1)2dz??|z|?3221zdz?2?i2|z?1?2?i。【 】
z?1z三．（8分）v?epxsiny为调和函数，求p的值，并求出解析函数f(z)?u?iv。 四．（8分） 求f?z??z(z?1)(z?2)????2在圆环域1?z?2和1?z?2???内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分?六．（8分）设f(z)?2cosxx?4x?5dx。
?C3?2?7??1??zd?，其中C为圆周|z|?3的正向，求f?(1?i)。
七．（8分）求将带形区域{z|0?Im(z)?a}映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分) 1.e?2k??iln3； 2. 三级极点 ；3. 3z ；4. 0 ；5. 0 ；6. 1[1?121e ；7.
6s?2(s?1)232 ；8. 0；
9. 0 ；10.
???(??2)???(??2)]。
2j(??2)j(??2)二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在1?|z|?2 f(z)?z(1z?2?1z?11z?2?1)?z(?1??()?z2n?021(1?zn11())??(??z?2n?1zn)-----4分 n?0n?0n?1?zn?12) 在1?|z?2|??
f(z)?1z?2(1?)?1(z?2)(1?1)z?2)?1z?2???n?0(?1)n1(z?2)n?2--4分
z?2四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
???2eix??x?4x?5dx?2?iRes[e2izz?4z?5,?2?i] --------3分
e2iz ?2?ilim(z?(?2?i))z??2?iz?4z?5dx?2?e??e(cos2?isin2) --------6分
故
???22cosxx?4x?5??dx?2Re?2??2eix??x?4x?52cos2 ---------8分
五.(8分) 解: f?(z)???C3??7??1(??z)d? -------3分
由于1+i在|z|?3所围的圆域内, 故 f?(1?i)?C?(??3?2?7??12?(1?i))zd??2?i(3?2?7??1)?|??1?i?2?(?6?13i) -------8分
六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 f(z)?ei?ea??? (映射不唯一,写出任何一个都算对)
ea??七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
sY(s)?sy(0)?y?(0)?(sY(s)?y(0))?3Y(s)?2`z3s?1
3代入初始条件,得Y(s)?s?1 --------4分 s?2s?3513?314?8?8 ???s?1s?1s?3(s?1)(s?3)(s?1)(s?3)(s?1)2?1故, y(t)??34e?t?58e?t18e?3t ---------8分(用留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)1.e?2k??iln3 ；2. 三级极点 ；3. 3z2； 4. 0 ；5. 0 ；6.
1e ；7. sin1?cos1 ；
8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。
二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三.(8分) 解:因为v?epxsiny是调和函数,则有 ?v?x22??v?y22?0,即 pe2pxsiny?epxsiny?(p?1)e2pxsiny?0 故p??1---------2分
1) 当 p?1时, v?exsiny, 由C-R方程, ?u?x?u?y??v?yxx?ecosy, 则u(x,y)?ecosy?g(y), 又由
x??esiny?g?(y)???v?xx??esiny，故 g?(y)?0, 所以g(y)?c 。
则 f(z)?ez?c ----------3分 2) 当 p??1时, v?e?xsiny, 由C-R方程, ?u?x?u?y??v?y?x??e?xcosy, 则u(x,y)??e?v?xx?xcosy?g(y), 又由
?esiny?g?(y)???esiny，故 g?(y)?0, 所以g(y)?c 。
则 f(z)??e?z?c 四(8分) 解: 1)在1?|z|?2
f(z)?z(1z?2?1z?1)?z(?1?()??2n?02zzn11())??(??z?2n?1zn)-----4分 n?0n?0n?1?zn?12) 在1?|z?2|??
f(z)?1z?21z?2(1?1z?2?1)?1z?2(1?1(z?2)(1?1z?2)) -------4分
????(?1)n?0n1(z?2)n?2五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有
一个一级极点 -2+i, 故
???2eix??x?4x?5dx?2?iRes[e2izz?4z?5,?2?i] --------3分 e2iz ?2?ilim(z?(?2?i))z??2?iz?4z?5dx?2?e??e(cos2?isin2) --------6分
故
???22cosxx?4x?5??dx?2Re???2eix??x?4x?5cos2 ---------8分
六.(8分) 解: f?(z)???C3??7??1(??z)22d? -------3分
由于1+i在|z|?3所围的圆域内, 故 f?(1?i)?C?(??3?2?7??1?(1?i))zd??2?i(3?22?7??1)?|??1?i ?2?(?6?13i) -------8分
七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 f(z)?ei?ea?? (映射不唯一,写出任何一个都算对)
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