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高三年级数学试卷答案（理工类） 2019.1
一、选择题（40分）
1 题号 答案 D
二、填空题（30分）
题号 答案 三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由cosC?
9 10 11 12 13 能 14 2 B 3 A 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 25 7 8 35 8 2?22 12?5，0?C?，所以sinC?. 132135sinCABBC?由正弦定理得，，即AB?BC?=13?13?52. .……… 6分 sinCsinAsinA22
（Ⅱ）在△ABD中，cosB?cos(??3?22172. ?C)?cosC?sinC?42226222由余弦定理得，AD?AB+BD?2AB?BDcosB,
所以AD?(52)2+16. （本小题满分13分）
2169131722929. 所以AD?. ……………… 13分 ?2?52???422642解：（Ⅰ）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中
位数为2500，所以甲的购买价格为2500.
C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，
故X的可能取值为0，1，2.
201102C2C21C2C242C2C21P(X?0)??P(X?1)???P(X?2)??. ， ，222C46C463C46所以分布列为
6
X P 0 1 61 2 2 31 6231?1. 6所以数学期望E(X)?0?P(X?0)?1?P(X?1)?2?P(X?2)?1??2?……… 10分
（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B ……… 13分 17. （本小题满分14分）
G，连FG，连GC. 证明：（Ⅰ）取AC11中点
在△A1B1C1中，因为F,G分别是A 1B1,AC11中点，
A1AFG1所以FG//B1C1，且FG=B1C1.
2在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，
B1C1z1EC=B1C1. 所以EC//BC，且112所以EC//FG，且EC=FG.
所以四边形FECG是平行四边形. B所以FE//GC.
1BEA1CAFC1GC?平面AC又因为FE?平面AC11CA，11CA，
xBECy所以EF//平面AC11CA. …………………4分 （Ⅱ）因为侧面AC11CA是正方形，所以AC11?C1C.
又因为平面AC1，且平面AC11CA?平面BCC1B1?C1C， 11CA?平面BCC1B所以AC11?平面BCC1B1.所以AC11?C1B.
又因为BC1?C1C，以C1为原点建立空间直角坐标系C1?xyz，如图所示. 设C1C?a，则A(0,a,a),B(a,0,0),C(0,a,0),A1(0,0,a),B1(a,?a,0)，
aaaaaE(,,0),F(,?,). 22222（ⅰ）设平面FBC1的一个法向量为n?(x,y,z).
7
????ax?0,??n?CB?0,?x?0,??1由?????得即令y?1，所以n?(0,1,1). ??aaa?x?y?z?0.?y?z.??n?C1F?0??222?????又因为AC11?平面BC1E，所以C1A1?(0,0,a)是平面BC1E的一个法向量.
?????C1A1?n?????a2 所以cosC1A1,n?????. ???2C1A1?na?2 由图可知，二面角F?BC1?E为钝角，所以二面角F?BC1?E的大小为
3?. 4 ……………10分 （ⅱ）假设在线段EF上存在点P，使得AP?EF.
????????EP??,??[0,1] 设，则EP??EF. EF因为
????????????????????aaaaaaAP?AE?EP?AE??EF?(,?,?a)??(0,?a,)?(,??a?,?a??)，
222222又AP?EF，
????????aaaa21所以AP?EF??0?(??a?)(?a)?(?a??)?a(???)?0.
22224所以??0?[0,1].
故点P在点E处时，有AP?EF .…………14分 18. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 当m?0时：f?(x)?(x?1)e，令f?(x)?0解得x??1，
又因为当x????,?1?，f?(x)?0，函数f(x)为减函数；
当x???1,???，f?(x)?0，函数f(x)为增函数.
所以，f(x)的极小值为f(?1)??（Ⅱ）f?(x)?(x?1)(e?m).
当m?0时，由f?(x)?0，得x??1或x?lnm. (ⅰ)若m?xx1. .…………3分 e11x，则f?(x)?(x?1)(e?)?0.故f(x)在???,???上单调递增；
ee 8
（ⅱ）若m?1，则lnm??1.故当f?(x)?0时，x??1或x?lnm； e 当f?(x)?0时，?1?x?lnm.
所以f(x)在???,?1?，?lnm,???单调递增，在??1,lnm?单调递减. (ⅲ)若0?m?1，则lnm??1.故当f?(x)?0时，x?lnm或x??1； e 当f?(x)?0时，lnm?x??1.
所以f(x)在???,lnm?，??1,???单调递增，在?lnm,?1?单调递减. .…………8分
（Ⅲ）(1)当m?0时，f(x)?xex，令f(x)?0，得x?0.因为当x?0时，f(x)?0， 当x?0时，f(x)?0，所以此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点.
(2)当m?0时： （ⅰ）当m?112时，由（Ⅱ）可知f(x)在???,???上单调递增，且f(?1)???0，f(1)?e??0，
eee此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点.
（ⅱ）当m?1时，由（Ⅱ）的单调性结合f(?1)?0，又f(lnm)?f(?1)?0， e 只需讨论f(1)?e?2m的符号：
1e?m?时，f(1)?0，f(x)在区间???，1?上有且只有一个零点； e2e当m?时，f(1)?0，函数f(x)在区间???，1?上无零点.
21 (ⅲ)当0?m?时，由（Ⅱ）的单调性结合f(?1?)，0f(1)?e?2m?0，
emmf(lnm)??ln2m??0，此时f(x)在区间???,1?上有且只有一个零点.
22e 综上所述，0?m?. .…………13分
2当
19. （本小题满分14分）
?y?x?1?解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y?x?1.与椭圆方程联立,由?x2
2??y?1?2可求B(?41,?). ……………4分 33 9
（Ⅱ）当l2与x轴垂直时，C,D两点与E,G两点重合，由椭圆的对称性，EF. 1?FG1 当l2不与x轴垂直时，
设C?x1,y1?，D?x2,y2?，l2的方程为y?k(x?1)（k?1）.
?y?k(x?1)?2222 由?x2消去y，整理得?2k?1?x?4kx?2k?2?0.
2?y?1??2?4k22k2?2 则x1+x2?，x1x2?. 222k?12k?1由已知，x2?0，
则直线AD的方程为y?1?y2?1x?y2?1.把x，令x??1，得点E的纵坐标yE?2x2x2y2?k?x2?1?代入得yE??x2?1?(1?k).
x2y1?1143(x?4),令x??1，得点G 的纵坐标由已知，x1??，则直线BC的方程为y??33x?4313yG??x1?1?(k?1). y1?x1?1.把y1?k?x1?1?代入得yG?43x1?43(x1?)3(1?k)??x2?1?(3x1?4)?x2?x1?1??x2?1?(1?k)?x1?1?(k?1)??? ???x23x1?4
yE?yGx2?(3x1?4) ?(1?k)?2x1x2?3(x1?x)2?4?x2?(3x1?4)?4k22k2?2 把x1+x2?，x1x2?代入到2x1x2?3(x1?x2)?4中，
2k2?12k2?12k2?2?4k2?3?(2)?4?0. 2x1x2?3(x1?x2)?4=2?22k?12k?1即yE?yG?0，即EF. .…………14分 1?FG1
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