loading《函数与方程》教学设计
武平一中 林静
教学设计案例
关于新课程改革下的数学高考方案还没有具体公布,而普通高中教学的任务之一是为高考服务.因而根据数学课程标准如何拓展,拓展到什么程度,什么时候拓展是在一线的老师一直在探讨的问题.笔者就此问题作一尝试. 教学目标:
⑴复习函数零点的概念,利用函数零点与对应方程的根的关系解题,培养学生的函数与方程思想;
⑵利用函数的零点讨论方程根的个数;解简单的不等式及一元二次方程根的分布,提高学生的使用数形结合的能力;
⑶使学生体会函数与方程、不等式之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高学生分析、解决综合问题的能力,提高学生的数学素养. 重点与难点:
重点:函数图象的应用. 难点:感受数学内部的联系. 教学方法:启发式,探究式,讲练结合 教学准备
教师:制作投影片.学生:科学计算器,熟悉科学计算器的使用. 教学导图: 采用多种形式复习本大节的有关内容
?
例题选讲 ?
课堂练习
教学情境设计:
教学内容：利用函数的零点与方程的根的关系判断方程根的个数.
设计意图:让学生复习本节的主要内容,(1)函数的零点,(2)函数零点存在的条件.提出使用函数图象解决相应方程根的有关问题的方法,培养学生使用数形结合的能力.
老师提问:
(1)什么叫函数y=f(x)的零点?函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的实数根有怎样的关系?
(2)已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,当_______时在y=f(x)区间(a,b)上必有零点;当_________时y=f(x)在区间(a,b)上有唯一的零点.
学生回答:老师根据学生回答情况进行总结同时放出投影.
(1)方程f(x)?0有实数根?函数y=f(x)有零点,则可以通过函数的零点来讨
论对应方程的有关根的问题.这节课的重点就是用函数图象解题
(2)已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,当f(a)(b)<0时在y=f(x)区间(a,b)上必有零点;当f(a)f(b)<0且f(x)在(a,b)具有单调性时y=f(x)在区间(a,b)上有唯一的零点.
师生活动:
例1 判断下列方程的解的个数
①3(x?1)(x?4)(x?2)?0; ②2x2?x?2?5x2?2x; ③2x?2x?1?0; ④2x?2x?1?0 ⑤log2x?x?2.
将题目分到小组,小组派代表到黑板上板书解答过程.
老师根据学生的解答进行解释.强调判断方程根的个数的方法:根据方程选择适当的方法,对简单方程求出方程的根来判断,对能用公式判断的方程用公式来判断;对比较复杂的方程使用数形结合的方法来判断.画图时应注意图形的准确性,如2x?2x?1?0,形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程,转化为最熟悉简单的函数f(x),g(x),再找他们的交点个数来确定.
. 教学内容:用二分法求函数零点的近似值.
设计意图:使学生进一步巩固用二分法求方程近似解的步骤和过程,理解二分法的概念,学会科学使用计算器.
老师提问:用二分法求函数零点的近似值的依据是什么?需经过哪些步骤? 学生回答,老师根据学生的回答进行总结并投影.
依据是零点存在的条件:已知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,当f(a)(b)<0时
在y=f(x)区间(a,b)上必有零点.
基本步骤:
找区间(a,b),使f(a)f(b)<0(不妨设 f(a)<0,f(b)>0)
f(x1)=0 ? a?bx? 1 2?①
?x是f(x)?0零点 1
f(x1)≠0不妨f(x1)<0 ? x?(x1,b),f(x1)?0,f(b)?0,使f(x)?0
?
x1?bx2?2 ?② f(x2)?0 ? x2是f(x)?0零?
?
…
f(x)?0的近似解 则x?xn是的方程例2 利用计算器,求方程lgx?2?x的近似解(精确度0.1)
师生活动:同桌之间互相合作解题,教师巡视课堂,进行个别辅导.
教学内容:函数零点的应用.
设计意图:使学生进一步掌握数形结合的应用方法,培养学生的分析,解决问题的能力..
例3 用图象法解不等式
x(1) 2??2x?1
(2) x2?2?2x?1 (3) x?2?x
师生活动:
老师 投影例3,引导学生画图,并指导方法.使用数形结合解方程实际上是找x使方程两边对应函数的函数值相等.那解不等式呢?对同一个x比较不等式两边对应函数的函数值的大小,即比较两个函数图象的高低
学生:根据老师的提示独立完成,画图,找两个函数图象的交点,比较两个函数图象的高低,写出正确的答案.
叫三个学生到黑板上作答.
师生 总结,评价学生的答题情况.得到答案:(1) x?0,(2) x??1或x?3, (3) 0?x?1
引申:若没有方法限制还可以怎么做? 如x?2?x,可以用换元法完成. 设
x?t(t?0),x?t2;原不等式可化为:
t?2?t2,
?2?t?1?0?t?1,0?x?1,?0?x?1
所以应根据具体的题目选用自己比较熟悉的方法答题.
例4 二次方程x2?2(m?1)x?2m?6?0
(1)若方程有两个正根,求实数m的取值范围?
(2)若方程一根比1大,另一根比1 小, 求实数m的取值范围? (3)若两根都比1大, 求实数m的取值范围?
老师 投影例4,引导学生分析问题,找到解题方法.
学生 认真思考,积极动手演算推理,能顺利解出(1) m?5和(2)m∈R,但(3)碰到麻烦啦.
老师根据巡视学生的答题情况叫两个学生到黑板上板书:
???4(m?1)2?4(2m?6)?4(m2?4m?5)?0学生甲: ???m?5m或??1
(x?1)(x?1)?xx?(x?x)?1?0?121212???4(m2?4m?5)?0???x1?x2?2?m?5学生乙:
?xx?1?12老师 根据学生的答案分析.若使用初中的解法解答(3)题,设方程两根为
x1、x2.若x1??1,x2??3,满足(x1?1)(x2?1)?0,但不满足x1?1,x2?1;同样
1满足2x1?4,x2??x1?x2?2,但不满足x1?1,x2?1的条件.所以甲与乙的转换都??x1x2?1不是等价转换.所以初中的方法已不够用了.那怎么解(3)呢?使用函数的零点的观点来分析这个问题.
由对应f(x)?x2?2(m?1)x?2m?6的图象可以得到:
???4(m2?4m?5)?0??2(m?1)???1?m?5
2???f(1)?0???0??2(m?1)师生使用函数图象同样可以分析(1)和(2)得: (1)???0;(2)
2???f(0)?0f(1)?0.
老师 启发学生从例4入手探究一般结论.
f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)有两个根,设为x1,x2
(1)若方程有两个正根, (2)若两根都比m大,
(3)若方程一根比m大,另一根比m 小, 分别应满足什么条件?
???0???0???b?b老师 根据学生的回答进行总结:(1) ???0 (2) ???m (3)
2a2a?????f(0)?0?f(m)?0f(m)?0
强调注意根据函数图象分析.
课堂小结:这节课围绕函数零点的问题而展开的，体现数形结合(函数思想)方法的应用
(1)函数零点与对应方程的实数根的关系; (2)判断方程的解的个数:
(3)二分法求函数零点的近似值的方法: (4)函数零点的应用. 作业设计
(1)判断方程log2x?x2?2?0解的个数及解的大致范围 (2)解不等式?x2?x?20?0
(3)方程x2?2(m?1)x?2m?6?0有两个实数根 ,
①若两根为正根, ②若两根都比2大,
③若两根有一根比1大,另一根比1小,分别求实数m的取值范围? (4)预习P106的函数模型及其应用
预习提纲:①解应用题的基本方法是什么?关键应抓住什么? ②阅读理解问题时应抓住什么?
③例题1 中依据什么标准选择投资方案? ④例题2如何根据公司要求选择恰当的方案?
风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间