loading第一讲函数、极限、连续
1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数：f( X)
f(X)，图像关于原点对称。
偶函数：f( X) f (X)，图像关于y轴对称 3、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 设
a, B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
a
（1）若 lim 0,
则
a是比 B高阶的无穷小量。
B
a
（2）右 lim c
(不为0), 则
a与B是同阶无穷小量
特别地，若lim
1，则 a与B是等价无穷小量
a
（3）右 lim
，则
a与B是低阶无穷小量
记忆方法：看谁趋向于 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 4、两个重要极限
si nx lim」
1
（1）lim — X
°sin X x 0
x
使用方法: 拼凑
0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致
1
（2）lim
00
（1
X）
X
1
lim°（1
使用方法
后面 定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、lim
x
Qm X
Pn X
a。 ,n m b°
0,n m ,n m
Pn x的最高次幕是n,Qm X的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。n
m,以相同的比例趋向于无穷大； n m，分母以更快的速度趋向于无穷大；
度趋向于无穷大。
n m，分子以更快的速
、左右极限 7
左极限：lim f(x) A
x X0
右极限：
X X0
充分必要条件是
x Xo X x) X x)
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求
解。
8连续、间断
连续的定义： ) o
x 0
x 0
或
0
X x
间断：使得连续定义0无法成立的三种情
lim f (x) A
lim f (x) Alim f (x) lim f (x) A
lim y lim f (XX) f(X) 0
lim f (x) f (x)
lim f (x) f (x)
x X0
况
。
X X0
X X0 记忆方法： x 9、间断点类型
(1 )、第1类间断 — 点： ?类间断
(2 )、第
点：
f(X)不存在，f (X0)无意
义
lim f (x) lim f 不存在f(X)) (x)
2、左边不存在
3、左右都存在，但不相等
lim f (x)、lim f (x)至少
X X0
X X0
个不存在
f (x)都存lim f (x)、lim
X X
X X0
在
X X0 X X0
X X0 X X0
，左右只要有个不存在，就疋第—类然后再判断疋不疋第 注：在应用时，先判断疋不疋 第—类间断点
一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质 (1) 最值定理：如果 在上连续，则在上必有最大值最小值。
) 零点定理：如果在上连续，且，则在内至少存在一点
可去间断点： lim f (x) lim f (x)
lim f (x) lim f (x) 跳跃间断点：
f(x)a,bf (x)a,b
(2f(x)a,bf(a) f (b) 0f (x)a,b
第三讲 中值定理及导数的应用
1、罗尔定理
如果函数y f(x)满足：(1)在闭区间 a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)则在(a,b)内至少存在一点
，使得f ( )
0
2、拉格朗日定理
如果y f (x)满足(1)在闭区间 a,b上连续
(2)在开区间(a,b)内可导;
a,b)内可导，且f(X)
在(a, b)内f (x)=c恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为
0。
(*)推论2:如果 f (x),g(x) 在a, b上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f (x) g(x),x 那么f (x)
3、驻点
满足f (x)
0的点，称为函数f (x)的驻点。
几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念
f(b)，
,那么
(a,b)，
0
设f(X)在点X。的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点X,有f (x) f(x。)，则称f(x。)为函数
f (x)的极大值，X。称为极大值点。
设f(X)在点X。的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点
x,有 f (X) f(Xo)， 则称 f (Xo) 为函数
f ( X)的极小值，X。称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
6、 单调性的判定定理
设f (x)在(a,b)内可导，如
f (x) 0,则f(x)在(a,b)内单调增加;
如果f (x) 0，则f(x)在(a,b)内单调减少。
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，
f (x) 0 ； 在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，
f (x) 0 ；
7、取得极值的必要条件
可导函数f(x)在点X0处取得极值的必要条件是 f (x°) 0
8取得极值的充分条件
第一充分条件：
设f (x)在点X0的某空心邻域内可导，且 f(X)在X0处连续，则
(1)
如果X
X0时， f 0; x X°f (X) 0,那么f(x)在X0处取得极大值 (X) 时，(2) 如果X X0时， f (X)
0 ； x X°时, f (X) 0，那么f (x)在X0处取得极小值(3)
如果在点 X0的两侧，f (X)同号, 那么f(X)在X0处没有取得极值；
f(X0)；
f(X0)；
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记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：
设函数f(x)在点X。的某邻域内具有一阶、二阶导数，且
f (x0) 0， f (x0) 0
贝V ( 1)如果f (x0) 0，那么f (x)在x0处取得极大值f (x0)；
(2)如果f(X。) 0,那么f(X)在Xo处取得极小值f(Xo)
9、凹凸性的判定
设函数f (x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果f (x) 的；
0,x (a,b)，那么曲线f (x)在(a,b)内凹
(2)如果 f (x) 0, x (a,b)，那么
曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
(1)
⑵
f (x)有垂直渐近线X x0
(2)
b，则y ax b为其斜渐近线。