loading
【秒杀题型】：等比数列通项、前n项和公式运算技巧。
【题型1】：等比数列?an?中，若m?n?p?q,则am?an?ap?aq。
『秒杀策略』：注意左面几项对应右面几项，即左、右项数必须相等，如a5?a2?a3。
1.(2012年新课标全国卷5)?an?为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10= ( ) A.7 B.5 C.?? D.?? 【解析】：a5a6??8?a4a7??8，a4,a7为?2,4，q3??2或?2.(2015年新课标全国卷II)已知等比数列{an}满足a1?1，代入得a1?a10=??，选D。 21，a3a5?4?a4?1?，则a2= ( )
411 A.2 B.1 C. D.
2812【解析】：由以上性质得a4?4?a4?1?，即a4?2，q?2，a2?，选C。
23.(高考题)已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y?x?2x?3的顶点是?b,c?，则ad等于 ( )
2A.3 B.2
C.1 D.?2
【解析】：由二次函数得b?1，c?2，?ad?bc?2，选B。
4.(高考题)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2=1，则a1= ( )
2A.
21 B. C.2 D.2
2222【解析】：由a3?a9?a6?2a5，得q?5.(高考题)等比数列?an?满足a2a4?【解析】：a1a3a5?(a2a4)?秒杀技巧：取常数列an?2222，?a1?2，选B。 212，则a1a3a5? 。 21。 41124，a1a3a5?an?。 246.(高考题)已知?an?为等比数列，下面结论中正确的是 ( ) A.a1?a3?2a2 B.a1?a3?2a2 C.若a1?a3，则a1?a2 D.若a3?a1，则a4?a2
222
【解析】：由摆动数列可排除C、D，a1?a3?2a2?2a1a3=2a2，选D。
57.(高考题)若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e，则lna1?lna2?L?lna20?
2222 。
【解析】：a1a2???a20??a10a11??e50，原式=50。
1050秒杀：取常数列an?e5，a1a2???a20?e。
28.(2018年北京卷)设a,b,c,d是非零实数，则“ad?bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】：选B。
9.(高考题)公比为32等比数列?an?的各项都是正数，且a3a11?16，则log2a16= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7
9【解析】：a3?a11?a7?16，?a7?4，a16?a7?q?32，原式=5，选B。
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
210.(高考题)等比数列?an?中,a4?4，则a2?a6等于 ( ) A.4
B.8
2 C.16 D.32
【解析】：a2?a6?a4?16，选C。
11.(高考题)公比为2的等比数列?an?的各项都是正数，且a3a11=16，则a5? ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】：a3?a11?a7?16，?a7?4，a5?1。
2(a?b)212.(高考题)已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值为
cd ( ) A.0
B.1
C.2
D.4
(a?b)2(x?y)24xy???4，选D。 【解析】：利用等差与等比数列的性质：
cdxyxy〖母题1〗在等比数列?an?中，a1?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,求a3?a5的值。
【解析】：原式=?a3?a5??25，?a3?a5=5。
2〖母题2〗等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则log3a1?log3a2?...?log3a10= ( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35 【解析】：原式=log3?a1?a2???a10??log3?a5?a6??log395?10，选B。
5秒杀：取常数列an?3，原式=10。 【题型2】：几个数成等比数列的设法。 『秒杀策略』：若三个数成等比数列，设法为：
a,a,aq。 q1.(高考题)已知等比数列?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是 ( ) A.???,?1? B.???,0?U?1,??? C.?3,??? D.???,?1?U?3,??? 【解析】：因为a2?1，前三项可设为：
11,1,q，S3??q?1，利用对勾曲线可得D。 qq2.(高考题)设等比数列?an?的前n项和为Sn，已知a2?6,6a1?a3?30,求an和Sn。 【解析】：设前三项分别为：
636?6q?30，q?2或q?3。 ，6，6q；则有
qqn?1n①当q?2时，an?3?2,Sn?3?(2?1)；
②当q?3时，an?2?3n?1,Sn?3n?1。
3.(高考题)已知等比数列?an?满足：a2?a3?10，a1a2a3?125。 （1）求数列?an?的通项公式； （2）是否存在正整数m，使得
111??L??1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由。 a1a2amn?2n【解析】：(1)a1a2a3?a2?125，?a2?5，代入得q??1或q?3，an?5?(?1)或5?33。
(2) 若q??1，
1111??...???或0，不存在这样的正整数m； a1a2am5m1119??1??9若q?3，??L???1?????，不存在这样的正整数m。
a1a2am10??10??3??【题型3】：等比数列前n项积的运算技巧。
Tn=中项；Tn=首末两项积。『秒杀策略』：设等比数列前n项积为Tn，当n为奇数时，当n为偶数时，
1.(高考题)在
??n??n2827和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 。 32827??6，则三个数的乘积为63?216。 32【解析】：中项为
2n2.(高考题)已知等比数列?an?满足an?0，且a5?a2n?5?2?n?3?，则当n?1时，
log2a1?log2a3?L?log2a2n?1?2
( )
22A.n(2n?1) B.(n?1) C.n D.(n?1)
n2【解析】：由已知可得an?2，原式=log2a1?a3???a2n?1?log22n=n，选C。
??n3.(高考题)在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作Tn，再令an?lgTn,n?1。 （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn?tanan?tanan?1，求数列{bn}的前n项和Sn。 【解析】：（1）Tn?100（2）?tan1?n?22?10n?2，an?lgTn?lg10n?2?n?2；
tan(n?3)?tan(n?2)tan(n?3)?tan(n?2)，得tan(n?3)tan(n?2)??1,
1?tan(n?3)tan(n?2)tan1Sn?b1?b2?...?bn??n?
tan(n?3)?tan3。
tan1