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第七讲列方程（组）解应用题
趣题引路】
两辆汽车从同一地点同时岀发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽汕，每桶汽油可以使一 辆车前进60 km,两车都必须返回岀发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车 尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离岀发点 _______________________ k/“的地方返回.
解析要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油.设 从开始出发到分别，甲、乙车各用了 x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x油，使甲车装满24桶 油，依据题意，列方程 x+x+2x=24. 解得x=6. 60x6=360 （km）.
所以，乙车应在藹出发点360 km处返回.
点评 解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.
知识延伸】
例1甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进.第一次相遇在距A点700〃?处，然后继续前进，甲 到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点40（加处，求A、B两地间的距离是多少米？ 解析 设A、B两地间的距离是x m,第一次相遇甲走了 700 m,第一次相遇后到第二次相遇甲走了 （x -700） +400=（^-300） m,因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了 xm,第一次相遇后 到第二次相遇两人共走了 2A-m,所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相 遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即 x-300=2x700. 解得 x=1700 m.
所以，A、B两地间的路程是1700 in.
点评弄淸以下问题是解题的关键：
（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？ （2）所走路程之和是多少？ （3）第一次相遇后到 第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？（4）所用时间是第一次相遇时间的几倍？ 例2有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%,乙种溶液的浓度为80%,要想得到浓度为85%的 溶液270g,应从甲、乙两种洒精溶液中各取多少克？
解析 设95%的酒精取xg, 80%的酒精取y g
x + y = 270
A>95% + y80% = 270x85%
x = 90
即95%的酒精取90 g, 80%的酒精取180 g.
另解：已知x+〉=270,只需求岀x： y即可快速求岀x、y. 一般要求岀x： y,需要有一个关于x、y的齐次 方程?②
式中有常数项，只要想法消掉常数项即可?把270用x+y代入，则有 85%-80% 整理得，-=
95% - 85% y
95%x+80%y=85% (x+y)?
观察发现，x与y的比只与三种溶液的浓度有关. 为了方便记忆，我们建立如下模型：
0
95% 85% -80% x……（95%的溶液质量）
则有亠叱空 、y 95%-85%
80% 95% -85%
y……（80%的溶液质量）
0
一般的，浓度为能的溶液.Mg，浓度为础的溶液$如配制成浓度为码的溶液，其中a%>c%>h%,则可 建立以下模型：
\
c% —b% x
/
? / \\
b% 律.
u % —c % y
点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ah型基本等量关系的问题都具有 此规
例3 某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此 人往返一次的平均速度是 _______________ km/h.
解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
由路程相同知，时间之比与速度之比互为倒数. 即去与回用时之比为6： 4二3： 2. 设平均速度为xkm/h建立模型： °、/
X ? / \\ 6
6-x 3 x-4 2
解得
x=4. 8 (km/h)
点评:关于心\方型数量关系，若有一个量相同，往往可以利用正、反比关系求出列两个量之比的关系。 例4 快、慢两列车的长分别为150/H, 200加，相向行驶在平行轨道上.若坐在慢车上的人见快车驶 过窗口的时间为6s,问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少？
A—4
解析 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为x s.由于X S. 两列车相向行驶的相对速度是一样
的，所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比，由
6： x=150： 200. 解得w8 ($)
答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为
点评：速度一左，路程之比等于时间之比是题中常隐含的关系.
例5 小刚骑自行车沿公路以\km/min的速度前进，每隔b min迎而开来一辆公共汽车，每隔c?心 (Ob)从后而开过一辆公共汽车.若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和 发车的间隔时间.
解析 设汽车速度为-￥ km/mint发车的间隔时间为t min.
依题意有彳
题意得
(a + x)b = /x (x 一 a)c = tx
a(c + h) x = -----
c_b 2bc t = --
b + c
点评：迎而\血相遇，路程即两辆车之间的距离为则皿，由速度和x时间二路程?得方程(a + x)b = tx； c加加后而追上来，相当于小刚先走双如?路程，由速度差x时间二路程，得方程(x-a)c = tx.
0