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5-1-3-1.数阵图
教学目标
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
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一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
例题精讲
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
16384752
【答案】
16384752
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且
数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
ahgf（2）bcde
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.
又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a，c，e，g可取到1，4，7，8
若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，
4，7，8中，不行.
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.
说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵
的解题突破口.
【答案】
【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，
则三个顶点上的三个数的和是 。
ACB【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分 【解析】 设三个顶点为D,E,F，求D,E,F。观察容易发现，三条边的和为36，即D+A+E+E+C+F+F+B+D=36
18+2( D+E+F)=36，所以D+E+F=9 【答案】9
【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那
么，每条边上的数字和是 ．
ade7f8c987b9【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为
a?b?c，由于a?b?c最小为1?2?3?6，最大为 ?1?2??9?a?b?c??3?15?34?5?6?15，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为17和20时的填法．
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而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下．
如果每条边上的数字和为18，那么a?b?c??18?15??3?9，而a?b?d?9?18，即a?b?d?9，
得到c?d，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分析可得到b?e，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19． 所以每条边上的数字和为17或20．
【答案】17或20
【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相
等，那么A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．
AB【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题 【解析】 方法一：如图
a
A
bc
B
efd
用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为s，那么a?b?c?d?e?f?2s，a?A?e?b?A?d?c?B?f?3s，所以2A?B?s， a?b?c?d?e?f?A?B?2s?A?B?5A?3B，而 a?b?c?d?e?f?A?B?1?2??8?36，所以5A?3B?36，那么A是3的倍数.如果A?3，
得B?7；如果A?6，得B?2，这两种情况下A和B的差都为4，所以A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
方法二：设各条直线上的三个数之和都为s，2(1?2?3??B?7?B?2所以?，?，由于(1?2?3?s?13s?14???8)?B?5s，即72?B?5s，
?8)?A?3s，即36?A?3s，
?B?2?B?7?s?14?s?13??因此有?,?,综合有?s?14，?s?13，
?A?6?A?3?A?6?A?3??所以A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
【答案】4
【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间
两个数A与B的和是________。
AB【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分 【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A、B各多算了一次，
故A+B=9。
【答案】9
【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2?2的正方形中的4
个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？
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【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；
第二步：计算三个2?2正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而2?3??11?65，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个2?2正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24．
【答案】24
【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和
都相等．那么这个和是多少?
811210356211794【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相
加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：解得x?26，即这个和为26．具?1?2??12??2x?5x，体填法如右上图。
【答案】26
【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的
四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．