loading专题1 函数与导数
一、函数
1.函数的三要素是什么?
定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.
2.求函数的定义域应注意什么?
求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f(x)的定义域是[a,b],求f(g(x))的定义域,是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f(g(x))的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].
3.判断函数的单调性有哪些方法?
单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.
4.函数的奇偶性有什么特征?
奇偶性的特征及常用结论:①若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则
f(0)=0.②f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数?f(x)
的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同
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的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+a)为偶函数,则
f(x)的图象关于直线x=a对称.
5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?
指数函数与对数函数的图象和性质: 指数函数y=ax 图象 对数函数y=logax 当0 探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法: (1)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性. (2)知式选图:①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域, ·2· 判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复. 7.确定函数零点的常用方法有哪些? 函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 二、导数 1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用? 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减). 利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:①y=f(x)在(a,b)上单调,则(a,b)是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0. 2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值? 当f'(x0)=0时,若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x) ·3· 的极小值. 将函数y=f(x)在[a,b]上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 3.利用导数可以解决哪些不等式问题? (1)利用导数证明不等式: 证明f(x) F(x)在(a,b)上的最大值小于0,那么可以证明f(x) (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题: ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立?I是f(x)>g(x)的解集的子集 ?[f(x)-g(x)]min>0(x∈I); ②?x∈I,使f(x)>g(x)成立?I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集 ?[f(x)-g(x)]max>0(x∈I); ③对?x1,x2∈I,f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min; ④对?x1∈I,?x2∈I,f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min. 函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查. 一、选择题和填空题的命题特点 (一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合. ·4·