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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣
x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD． （1）求出双曲线的解析式；
（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，
∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°， ∴∠AOB=∠ABO=45°， ∴△CEO∽△DEB ∴
=
=3，
∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，
设D（10﹣m，m），其中m＞0， ∴C（3m，3m）， ∵点C、D在双曲线上， ∴9m2=m（10﹣m）， 解得：m=1或m=0（舍去） ∴C（3，3）， ∴k=9， ∴双曲线y= BF=1，
（x＞0）
（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0）， ∴OE=3，EF=6，DF=1，
∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB
×1×1=17，
= ×3×3+ ×（1+3）×6+
∴四边形OCDB的面积是17
【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．
2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．
（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．
【答案】（1）解：∵A（5，0）， ∴OA=5． ∵ ∴
， ，解得OC=2，
∴C（0，﹣2）， ∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x轴，
∴D（﹣2，3）， ∴m=﹣2×3=﹣6， ∴
，
设直线AC关系式为y=kx+b， ∵过A（5，0），C（0，﹣2），
∴ ∴
∴BC=5=OA，
，解得 ；
，
（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2）， 在△OAC和△BCD中
∴AC=CD，
∴△OAC≌△BCD（SAS）， ∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°， ∴AC⊥CD；
（3）解：∠BMC=45°． 如图，连接AD，
∵AE=OC，BD=OC，AE=BD， ∴BD∥x轴，
∴四边形AEBD为平行四边形， ∴AD∥BM， ∴∠BMC=∠DAC， ∵△OAC≌△BCD， ∴AC=CD， ∵AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形， ∴∠BMC=∠DAC=45°．
【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出 反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3） 由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出 △OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.
3．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABH面积．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2， ∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得
∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4， ∴反比例函数解析式为y=
，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
（2）解：解方程组 ∴B（﹣2，﹣2）， 又∵A（1，4），BH⊥y轴，
，可得 或
，
∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．
【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线
解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.
4．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数
的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4）， ∵F为AB的中点，∴F（6，2）， 又∵点F在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴k=12，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ∴ = = = =
，
，
∴当k=12时，S有最大值．S最大=3
【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.