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第二十一讲应用题
趣题引路】
2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题：
某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h） 如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为SOkm/h,而汽车每行驶lkm需要的平均费用为1. 2元试指岀此人 从A城岀发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：从A城岀发到达B城的路线分成如下两类：
（1）
从A城岀发到达B城，经过0城.因为从A城到0城所需要最短时间为26h,从0城到B城所需最 短时间为22h.
所以，此类路线所需最短时间为26+22二48 （h）.
（2）
为49h.
从A城岀发到达B城，不经过0城。这时从A城到达B城，必泄经过C, D, E城或F, G, H城， 所需时间至少
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48h,所走的路线为A-F-O-E-B.所需的费用最少为80X 48X1.2=4608 （元）. 在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。
知识拓展】
当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生 活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增 强对数学的理解和应用数学的信心。
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质， 将其转化为数学模型.其求解程序如下：
()
实际问題 数学问题（模型） （6）若数斡吉果不舲实 际，
则修正，改迹重适 数冷型
数学结卑 F 检验数潍果
实际结果 实际情景
在初中范国内常见的数学模型有：数式模型、方程模型.不等式模型、函数模型、平而几何模型、图 表模型等. 一、用数式模型解决应用题
抽象
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性, 因而成为描述和表达数学问题的重要方法.
通过数学化
例1： （2003年安微中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统讣，调价前后各 景点的游客人数基
求解数学问麵 景点 原价（元） 本不变，有关数据如下表所示：
A B C D E 10 5 1 10 5 1 15 15 2 20 25 3 25 30 2 （4）现价（元）结合实际 平均日人数（千 人） （5）判断数学结果 是否合乎实际 （1） 该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平?问风景区是怎样计算 的？
（2） 另一方而，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%. 问游客是怎样计算
的？
（3） 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
解析：抓住“平均价格”''平均日总收入”等关键词. 解：（1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格：1（）- — -2<-25=16 （元）?
调整后的平均价格：
5 =16 （元）?
所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平.
（2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：10X1 + 10X 1 + 15X2+20X3 + 25X2=160 （千元）， 现平均日总收入：5X 1+5X1 + 15X2+25X3 +
30X2=175 （千元），
()
故平均日总收入增加了：门5-16（）“4% .
160
（3）游客的说法较能反映整体实际.
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关 系和相等关系的角度去认识和理解现实世界.
例2： （2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼 共有4道门，其中两道正门大小相同，两逍侧门大小也相同.安全检査中，对4道门进行了测试：当同时 开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内 可以通过800名学生?
（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门％可以通过多少名学生？
（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规左：在紧急情况下全大 楼的学生应在5min
内通过这4道门安全撤离?假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建适的 这4道门是否符合安全规左？请说明理由. 解析：列方程（组）的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量?设未知数时一般问什 么设什么?“符合安
全规左”之义为最大通过量不小于学生总数.
解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得:
2(x + 2y) = 560, <
4(x+y) = 800, （2）这栋楼最多有学
解得：
2 120, y = 80.
生4X8X45=1440 （名）, 拥挤时5min4道门能通过：
5X2 （120+80） （1-20%） =1600 （需人 因1600>1440>故建造的4道门符合安全规左.
三. 用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确左 某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较淸楚的认识.
例3： （2003年苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均的风速不小于3m/s的 时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s的时间占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色资源”， 该地拟建一个小型风力发电场，决左选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电 机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
3Wy 日平均风速y （m/s） y<3 <6 236 2 150 M90 A型发 日发电量 电机 0 （kW ? h）
B型发 电机 0 M24 根据上而的数据回答：
（1）若这个发电场购x台￡型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总疑至少为 ____________________ kW
-h；
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共
()