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专题提升二 数式、图形规律的问题
热点解读
探索规律题是模型化思想和归纳推理思想的体现．在中考中广泛应用，是热点考题之一．
母题呈现
(2017·宁波)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有____________________个黑色棋子．
对点训练
1．(2015·河北模拟)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )
第1题图
A．31 B．46 C．51 D．66
2. (2016·新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为____________________.
1 2 1 1 2 4 3 10 3 6 5 27 4 8 7 52 n 20 m x 第2题图
3．(2016·资阳)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝ .
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4．(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝ .
5．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a－b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y表示的数为____________________．
6．(2016·齐齐哈尔模拟)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，－1)，…，按照 这样的运动规律， 点P第2017次运动到点____________________．
第6题图
1ab7．(2015·梅州)若＝＋，对任意自然数n都成立，则a
（2n－1）（2n＋1）2n－12n＋1＝____________________，b＝____________________；计算：m＝＋
1
＝____________________. 19×21
8．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
111＋＋＋…1×33×55×7
第8题图
则第n次的运算结果＝________________(用含字母x和n的代数式表示)．
9．(2017·玉环模拟)农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n＝____________________.
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第9题图
10．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第10题图
(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？
(2)第几个图形有99颗黑色棋子？请说明理由．
11．(2015·合肥模拟)现有一组有规律排列的数：1、－1、2、－2、3、－3、1、－1、2、－2、3、－3、……其中，1、－1、2、－2、3、－3这六个数按此规律重复出现．问：
(1)第50个数是什么数？
(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？
(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？
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12．观察下列关于自然数的等式： 32－4×12＝5 ① 52－4×22＝9 ② 72－4×32＝13 ③ …
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×____________________2＝____________________； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
1
13.一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量
21111111是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第n次倒出水量是233445n1升的…按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？若不能，请说明理由；若能，经多
n＋1少次可以倒完？
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参考答案
专题提升二 数式、图形规律的问题
【母题呈现】19
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【对点训练】1.B 2.370 3.128 4.1.6×105或160000 5.－9 6.(2017，1) 7. －
22102nx
8.n 9.8 21（2－1）x＋1
10．(1)18颗 (2)设第n个图形有99颗黑色棋子，3(n＋1)＝99.∴n＝32，第32个图形有99颗黑色棋子．
11．(1)∵50÷6＝8……2，∴第50个数是－1.
(2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋2＋(－2)＋3＝3，∴从第1个数开始的前2015个数的和是3. (3)∵12＋(－1)2＋(2)2＋(－2)2＋(3)2＋(－3)2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋(2)2＝4，∴43×6＋3＝261，即共有261个数的平方相加．
12．(1)4 17 (2)第n个等式为：(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1，左边＝4n＋1，右边＝4n＋1.∴(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.
1111111
13．不能；倒n次水后剩下的水＝1－[＋＋＋…＋]＝1－(＋－＋
22×33×4223n（n＋1）11111
－＋…＋－)＝升．无论倒水次数n有多大，剩余水总不能为0. 34nn＋1n＋1
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