loading式中，
Iq是一个q维的单位矩阵，
In?q是一个n-q维的单位矩阵。
注意到A22的特征值不依赖于K。因此，如果一个系统不是状态完全能控的，
则矩阵的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全能控的。
2 充分性。即已知被控系统状态完全能控，则矩阵A的所有特征值可任意
o配置。
在证明充分条件时，一种简便的方法是给出的状态方程变换为能控标准形。 定义非奇异线性变换矩阵P为
P = Q W
其中Q为能控性矩阵，即
Q?[B?AB???An?1 （1）
B] (1)
a11?1??0????0?0???an?1?a?n?2W?????a1?1?an?2an?3?10????00 (3)
式中
ai为如下特征多项式的系数。
sI?A?s?a1snn?1???an?1s?an
?， 定义一个新的状态向量x?x?Px
如果能控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全能控的），则矩阵Q的逆存在，1
???Acx??Bcux (4)
其中
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?0?0??1Ac?PAP?????0??an?10?0?an?101?0?an?2??????0????1??a1?? （5）
0?0???0???1Bc?PB???????0??1??? （6）
式（4）为能控标准形。这样，如果系统是状态完全能控的。
选取一组期望的特征值为μ1，μ2，?，μn，则期望的特征方程为
(s??1)(s??2)?(s??n)?s?a1snn?1?an?1s?an?0 (7)
设
??KP?[??K?nn?1?1] (8)
????KPx?，从而由式(4)，此时该系统的状态方程为 由于u??Kx??x??Acx??BcK?x
相应的特征方程为
??0sI?Ac?BcK
事实上，当利用u??Kx作为控制输入时，相应的特征方程与式（8）的特征方程相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于
??Ax?Bu?(A?BK)xx
该系统的特征方程为
sI?A?BK?P?1(sI?A?BK)P?sI?P?1AP?P?1??0BKP?sI?Ac?BcK
对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（6）、(7)和（8），可得
30
?0????sI??sI?Ac?BcK?0???an1?0?an?1?????0??????????[???nn?1???10????a1??1?0?1]
s?0?an??nn?1s?an?1??n?1n?1??00?s?a1??1??s?(a1??1)s???(an?1??n?1)s?(an??n)?0 (9)
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（7）的期望特征方程相等。通过使s的同次幂系数相等，可得
a1??1?a1??a2??2?a2?
对δi求解上述方程组，并将其代入式（4.11），可得
?P?1?[?K?Kn??an??n?an??n?1??1]P?1??1?[an?an?an?1?an?1???a2?a2?a1?a1]P? (10)
因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（10）所选取的矩阵K，可任意配置所有的特征值。 证毕
2、 单输入-单输出状态反馈系统的极点配置算法
给定可控对(A,b)和一组期望的闭环特征值??1,?2,...,?n?,要确定(1?n)维的反馈增益向量k，是闭环系统状态矩阵(A?bk)的特征值为
??1,?2,...,?n?。
第1步：计算A的特征多项式，即det?sI?A??sn?an?1sn?1?...?a1s?a0 第2步：计算由??1,?2,...,?n?所决定的希望特征多项式，即
a(s)?(s??1)(s??2)...(s??n)
n?n?1?? ?s?an?1s?...?a1s?a0
*31
第3步：计算k
?k??a?0?a0??a?1?a1...a?n?1 ?an?1??1:......an?1??? ??1?第4步：计算变换矩阵 P?1n?1???Ab...Ab?1?an?1??b??:??a1第5步：求P；
第6步：计算反馈增益向量k?kP。 3、 全维状态观测器及其设计
? 原系统x?Ax?Bu,.y?Cx，状态不易通过输出直接测得，需要通过系统
输入和输出模拟系统的状态。
?全维状态观测器的动态方程 x?Ax?Bu?Hy(?y?????)y,?C xH y?B?u故有 x?(A?HCx)??式中(A?HC)成为观测器系统矩阵。 观测器存在条件为 lim(x(t)?t???x(t?))
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