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平面向量基本定理与三角形四心
已知O是?ABC内的一点，?BOC,?AOC,?AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：
SA?OA?SB?OB?SC?OC?0
AOBC如图2延长OA与BC边相交于点D则
BDS?ABDS?BODS?ABD?S?BODSC???? DCS?ACDS?CODSACD?S?CODSB
图1
AOBCOD?DCBDOB?OC BCBCSCSBOB?OC ?SS?SBCBC
?SDS?? ODOASBODBOA?SCODSBOD?SCODSA?? SCOASBOA?SCOASB?SC图2
?
OD??SASB?SCOA
??SASB?SCOA?SCSBOB?OC
SB?SCSB?SC?SA?OA?SB?OB?SC?OC?0
推论O是?ABC内的一点，且
x?OA?y?OB?z?OC?0，则
S?BOC:S?COA:S?AOB?x:y:z
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O是?ABC的重心
?S?BOC:S?COA:S?AOB?1:1:1?OA?OB?OC?0
O是?ABC的内心
?S?BOC:S?COA:S?AOB?a:b:c?a?OA?b?OB?c?OC?0
O是?ABC的外心
?S?BOC:S?COA:S?AOB?sin2A:sin2B:sin2C ?sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC
?0
O是?ABC的垂心
?S?BOC:S?COA:S?AOB?tanA:tanB:tanC ?tanA?OA?tanB?OB?tanC?OC?0
COADB
证明：如图O为三角形的垂心，tanA?CDCD,tanB??tanA:tanB?DB:AD ADDBS?BOC:S?COA?DB:AD
?S?BOC:S?COA?tanA:tanB
同理得S?COA:S?AOB?tanB:tanC，S?BOC:S?AOB?tanA:tanC
?S?BOC:S?COA:S?AOB?tanA:tanB:tanC
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 精品文档
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4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 ? 与“重心”有关的向量问题
uuuruuuruuur1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA?GB?GC?0，则G是△ABC的( )．
A．重点
如图⑴.
B．外心 C．内心 D．垂心
CA'GA
图⑴
PBM AB
CO图⑵
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足2已知O是平面上一定点，AuuuruuuruuuruuurOP?OA??(AB?AC)，??(0，??)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ).
A．重点
B．外心 C．内心 D．垂心
uuuruuuruuuruuuruuur??)时，由于?(AB?AC)表示BC边上【解析】由题意AP??(AB?AC)，当??(0，的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵.
3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足
∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．内心
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（λ
B．重心 C．外心 D．垂心
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解：作出如图的图形AD⊥BC，由于∴
由加法法则知，P在三角形的中线上 故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 故选：B．
? 与“垂心”有关的向量问题
sinB==
sinC=AD，
3 P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的( )
A．重点
B．外心 C．内心 D．垂心
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】由PA?PB?PB?PC，得PB?(PA?PC)?0，即PB?CA?0，所以PB⊥CA．同uuuruuuruuuruuur理可证PC⊥AB，PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.
CAPEMHFOBB
CP
A图⑶ 图⑷
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足4已知O是平面上一定点，Auuuruuur??uuuruuurABAC?，OP?OA???uuu?uuu则动点P的轨迹一定通过△ABC??(0，??)，rr?ABcosBACcosC???的( )．
A．重点
B．外心 C．内心 D．垂心
uuuruuur??uuurABAC?， ?uuu【解析】由题意AP???uuurr?ABcosBACcosC???精品文档