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1.2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．
知识点一 充分条件与必要条件 思考 用恰当的语言表述下列语句的意义 ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后； ②只有同心协力，才能把事情办好．
答案 ①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件． ②同心协力是办好事情的必要条件．
梳理 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但qp，称p是q的充分而不必要条件，若q?p，但pq，称p是q的必要而不充分条件． 知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件． 知识点三 充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系． (1)从逻辑关系上看．
①若p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件； ②若q?p，但pq，则p是q的必要不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件； ④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
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(2)从集合与集合之间的关系上看．
如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．
①若A?B，则p是q的充分条件； ②若A?B，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件． (3)从传递性角度看．
由于逻辑联结符号“?”“?”“?”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系． (4)从等价命题角度看．
当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．
类型一 充分条件、必要条件和充要条件的判断 例1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； (4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交． 解 (1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0； a2＋b2＝0?a＋b＝0， ∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形； 四边形是矩形?四边形的对角线相等， ∴p是q的必要不充分条件． (3)∵x＝1或x＝2?x－1＝x－1；
x－1＝x－1?x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件． (4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
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即m<－.∵m<－1?m<－；m<－m<－1，
444∴p是q的充分不必要条件．
(5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件． 反思与感悟 对于两个命题：p与q.
(1)若有“p?q，但qp”，则称p是q成立的充分不必要条件． (2)若有“q?p，但pq”，则称p是q成立的必要不充分条件． (3)若有“p?q，且q?p”，则称p是q成立的充要条件．
(4)若有“pq，且qp”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件． 跟踪训练1 设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 D
解析 可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”．故选D. 类型二 递推法判断命题间的关系
例2 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？
解 方法一 (1)∵q是s的充分条件，∴q?s. ∵q是r的必要条件，∴r?q.
∵s是r的充分条件，∴s?r，∴s?r?q. 即s是q的充要条件．
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件． (3)∵p是r的必要条件，∴r?p，∴q?r?p. ∴p是q的必要不充分条件． 方法二 如图所示．
(1)由图可知q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件． (2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件． (3)因为q?s?r?p，而pq， 所以p是q的必要不充分条件．
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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反思与感悟 解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系． 跟踪训练2 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙?乙，但乙丙．综上，有丙?乙?甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 类型三 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， c
∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，
a∴ac<0.
c
充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，
a∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．
因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”?“结论”，必要性是证明“结论”?“条件”．
跟踪训练3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明 必要性：
∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab) ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又∵ab≠0， ∴a≠0且b≠0，
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b3
∴a2＋b2－ab＝(a－)2＋b2>0，
24∴a＋b－1＝0.∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 类型四 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例4 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解 设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x2－8x－20>0，得A＝{x|x>10或x<－2}．解不等式x2－2x＋1－a2>0，得B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．依题意知p?q，qp，a>0，??
说明AB.于是有?1＋a≤10，
??1－a≥－2，到)解得0 ∴正实数a的取值范围是0 反思与感悟 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练4 已知p：|1－ x－1 |≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条3 (说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取 件，求实数m的取值范围． 解 由题意知p：|1－ x－1x－1 |≤2?－2≤－1≤2? 33 x－1 －1≤≤3?－2≤x≤10. 3q：x2－2x＋1－m2≤0? [x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0.(*) ∵p是q的充分不必要条件， ∴不等式|1－ x－1 |≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0)的解集的真子集． 3 ∵m>0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m}， 且1－m＝－2与1＋m＝10不同时成立． ???1－m≤－2，?m≥3，∴???∴m≥9. ?1＋m≥10???m≥9. ∴实数m的取值范围是[9，＋∞). 第 5 页 共 10 页