loading高等数学竞赛试题
一、填空：?1?esinx,x?0,?x1．若f?x???arctan2是???,???上的连续函数，则a=?2x?ae?1,x?0,
2．函数y?x?2sinx在区间?3．－1。2????
?3。,??上的最大值为3?2?
??x?x?e
2?2?xdx?2?6e?2。?3x2?2y2?12
4．由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,2处的指向外侧的单位法向z?0?
??量为15?0,2,3?。z?y?x5．设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xe二、选择题：1??x-1?ez?y?x?2所确定，则dz?dx?dy。z?y?x1?xe1．设函数f(x)可导，并且f??x0??5，则当?x?0时，该函数在点x0处微分dy是?y的（（A）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（D）低阶无穷小。C）A）2．设函数f(x)在点x=a处可导，则f?x?在点x=a处不可导的充要条件是（（A）f(a)=0，且f??a??0；（C）f(a)=0，且f??a??0；3．曲线y?x?
（B）f(a)≠0，但f??a??0；（D）f(a)≠0，且f??a??0。B）x2?x?1（（A）没有渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．设f?x,y?与??x,y?均为可微函数，且??y?x,y??0。已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（B）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；（D）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0。（A）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；（C）若fx??x0,y0??0，则fy??x0,y0??0；１5．设曲面Σ??x,y,z?x?y?z?k,z?0的上侧，则下述曲面积分不为零的是（2222??B）（A）（C）2x??dydz；?（B）（D）??xdydz；???zdzdx；?x?0??ydxdy。?1x三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且lim
f?x?f?x???
?0，f???0??4，求lim?1??。x?0xx??
解：由题设可推知f(0)=0，f??0??0，于是有lim
x?01xf?x?f??x?f???x??lim?lim?2。2x?0x?02x2x
xf?x?f?x?故?
f?x??f?x?????
lim?1??lim1??x?0x?0?x?x????????
????
x2x??
f?x??f?x???f?x??2。?limexp?2ln?1??e??x?0xx??????
?x?1?2t2,2dy?u??t?1四、设函数y?y?x?由参数方程?所确定，求。1?2lnte2x?9dxdu,?y??1u?dxdye1?2lnt22etdye?4t，得到解：由，，所以????
dt1?2lntt1?2lntdtdx2?1?2lnt?2
e
?1dyd?dy?1d?e1et??。???????????22?4t2??21?2lnt4tdx2dt?dx?dxdt?2?1?2lnt?4t?1?2lnt???
dt2而当x=9时，由x?1?2t及t>1，得t=2，故2d2yee
????。2222x?9t?2dx4t?1?2lnt?16?1?2ln2?五、设n为自然数，计算积分In?
?
π20sin?2n?1?x
dx。sinx解：注意到：对于每个固定的n，总有lim
sin?2n?1?x
?2n?1，x?0sinx所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx，于是有２In?In?1??
π20?sin?2n?1?x?sin?2n?1?x12dx?2?cos2nxdx?sin2nx2?0，0sinxn0
π上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有In?In?1???I1。所以In?I1??
?20sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?。000sinxsinx2
???六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明偶函数，但在x=0点处不可导。?f?t?dt是连续的0xf?x?存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以lim?x?0f?x???A。函数，所以lim?x?0命：?f?x??A,x?0;
???x???0,x?0;
?f?x??A,x?0.?
则??x?在x=0点处连续，从而??x?在???,???上处处连续，且??x?是奇函数：当x>0，则－x<0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?；当x<0，则－x>0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?,即??x?是连续的奇函数，于是???t?dt是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又0x???t?dt??f?t?dt?Ax，00xx即所以x?
0x0f?t?dt????t?dt?Ax，0x?f?t?dt是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，z?fx?y,cos?xy?，x?rcos?,y?rsin?，证明：22???z1?z?z?zcos??sin??2x?ysin?xy?。?rr???u?v解：设：u?x?y,v?cos?xy?，则22３?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v???????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y???2
类似可得?z
?xcos??ysin????zsin?xy???ycos??xsin???u?v
?z?z?z
??2r?xsin??ycos???rsin?xy???ysin??xcos??，???u?v代入原式左边，得到?z1?zcos??sin??rr???z?z?z
?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos???u?v?u?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，f??0???3求：lim
t?01πt4x2?y2?z2?t2???f?x2?y2?z2dxdydz。1πt4?解：记G?t??的对称性，有x2?y2?z2?t2???f
?x2?y2?z2dxdydz，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数?G?t??
于是有8πt4t?
?20d??sin?d??f?r?r2dr?
0?20t4?f?r?r2dr
0tt4limG?t??lim
t?0t?04?f?r?r2dr
0t44f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3。t?0t?0t4t3九、计算I?
?ydx?xdy
?Lx?x?y，其中L为x?x?y?1正向一周。解：因为L为x?x?y?1，故I???ydx?xdy
L格林公式?
???1???1??d??2??d?DD其中D为L所围区域，故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。D当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?2x?y?1?0；４当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??y?1?0；当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?y?1?0；当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??2x?y?1?0，故D的面积为2×1=2。从而I?
?ydx?xdy
?Lx?x?y?4。224十、⑴证明：当x充分小时，不等式0?tanx?x?x成立。⑵设xn?
?tan2k?1n1n?k，求limxn。n??tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2
证明：⑴因为lim?lim?lim?2lim?lim2?，x?0x?0x?0x?0x3x?0x3x4x33x2又注意到当x充分小时，tanx?x，所以成立不等式0?tanx?x?x。⑵由⑴知，当n充分大时有，2241
?tan2n?k1n?k?
11
?，故2n?k?n?k?nnn11111
，?x????????n2n?kn?kn?knk?1k?1k?1?n?k?k?1n11n1
而?，于是??kn?knk?1k?11?nn1111n1
lim??lim???dx?ln2，0n??n??knk?11?xk?1n?k1?nn由夹逼定理知limxn?ln2。n??十一、设常数k?ln2?1，证明：当x>0且x≠1时，?x?1?x?lnx?2klnx?1?0。2??证明：设函数f?x??x?lnx?2klnx?1
2?x?0?，故要证?x?1?x?lnx?2klnx?1?0，2??只需证：当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。５2lnx2k1
???x?2lnx?2k?。xxx2x?2
命：??x??x?2lnx?2k，则???x??1??。xx显然：f??x??1?
当x=2时，???x??0，x=2为唯一驻点。又????x??
21
?????2??0，所以x=2为??x?的唯，22x
一极小值点，故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x>0)，即当x>0时f??x??0，从而f?x?严格单调递增。又因f?1??0，所以当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：Fz?k????ds?
?a?lz?z1a?x
?2?k?????x?y2??
2????z?a?l????x
2?y2??z?z1?12?23222dz1?y??z?a?212?2???ds?
记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz，得到Fz?2?k??R
2???0?22?R??a?l??2R?a?l?cos??
???R
?122?a?2acos?2??12?sin??d??
kM1M2?R2?a2?R
???Rl?a?2R2??a?l??R?
?
a?l??
若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则2GM1M2?R2??a?l??R
?Fz??Rla??
R2?a2?R?
?。a?l??
６