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高一竞赛数论专题 5.素因数分解
算术基本定理：设整数a?1,那么a?p1p2ps.其中pj是素数,在不计次序下唯一.把a?p1p2???npn, p1?p2?ps.中相
同的素数合并,则得到标准素因数分解式a?p11p22
正因数个数定理：设?(n)?素数,则?(n)?
正因数和定理：设?(n)?s?pn,?1,?2,,?n?0.
?1?2nn?p表示大于1的整数的所有正因数的个数,若11p2?d|n?sps,其中pj是
?(1??).
ii?1s?d表示大于1的整数n的所有正因数之和,若n?pd|n1?1?2p2?sps,其中pj是素
pi?i?1?1数,则?(n)??.
p?1i?1i
1.设a,b是非零的整数,证明：(a,b)[a,b]?ab.
2.设n是正整数,证明：n!的素因数分解式为n!?
3.求2017!的十进制表示式中末尾的零的个数.
?pp?n?(p,n)?n?,其中p是素数,?(p,n)???j?.
j?1?p??
4.设n为正整数.证明：若n的所有正因数之和为2的整数次幂,则这些正因数的个数也为2的整数次幂.
5.设整数n?3,不超过n的素数共有k个.设A为集合{2,3,一个数不是另一个数的倍数.证明存在集合{2,3,数的倍数,且B包含A.
,n}的子集,A的元素个数小于k,且A中任意
,n}的k元子集B,使得B中任意一个数也不是另一个
高一竞赛数论专题 5.素因数分解解答
算术基本定理：设整数a?1,那么a?p1p2ps.其中pj是素数,在不计次序下唯一.把a?p1p2???npn, p1?p2?ps.中相
同的素数合并,则得到标准素因数分解式a?p11p22
正因数个数定理：设?(n)?素数,则?(n)?
正因数和定理：设?(n)?s?pn,?1,?2,,?n?0.
?1?2nn?p表示大于1的整数的所有正因数的个数,若11p2?d|n?sps,其中pj是
?(1??).
ii?1s?d表示大于1的整数n的所有正因数之和,若n?pd|n1?1?2p2?sps,其中pj是素
pi?i?1?1. 数,则?(n)??p?1i?1i