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2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究
“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化
2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。 3、规律探究类问题架构：
模块一 题组一
一阶等差规律探究 规律探究——第一次做差为常数 一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项
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公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。 2、一阶等差的实质：
……
(1)
(2)
(3)
通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个
在每一幅图形中，找出
个数，把图形按规律表示如下：
3?1?1 3?2?1 3?3?1 3?n?1
由一阶等差的实质可得规律为：an?dn?b。d为求出的不变差，b的求解可带第一组值求解。
3、首差法通项公式（通法）
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为a1以此第n个数记为an （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d，即d?后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n项满足：an?a1?(n?1)d
（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点(n,an)，设通项公式为：an?kn?b，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；
例1 如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆
第30个“小屋子”要 枚棋子．
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【规范答题】
法一：套通项公式。有图可得数据
做
差
n 1 5 2 11 3 17 17?11?6，?d?6，带入公
an 11?5?6，
?a30?6?30-1?179式，得到：an?5?(n?1)?6?6n?1。
法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个．
第2个图案中棋子的个数5?6?11个．?．
每个图形都比前一个图形多用6个．?第30个图案中棋子的个数为5?29?6?179个．故答案为：179． 例2 观察下列数：
31579，，，，?，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是( 91642536)
A．
2n?1 n2 B．
2n?1 n2 C．
2n?12n?1 D．
(n?1)2(n?1)2【规范答题】 法一：观察分析。
12?1?132?2?172?4?192?5?152?3?1，，，，，? ?????4(1?1)29(2?1)225(4?1)236(5?1)216(3?1)22n?1．故选：D．
(n?1)2由上可知，第n个数是
法二：赋值思想。令n?1，A．
2n?12?12n?12?1???1??3，?B错； ，A错；B．22n1n1C． 2n?12?132n?12?11????，?D错。 ? ，C对； D．
?n?1?244?n?1?244537，，，?，则第n(n1)个数为( ) 91642n n2 1 给定一列按规律排列的数：1，
n2?1A．2
n
B． C．
2n?12n?1 D．2 2nn
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【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，?，n的平方，分子是正奇数，则第n个数是C．
2n?1，故选：n2 2 已知下列一组数：1，
A．
2n?1 3n?25379，，，，?；用代数式表示第n个数，则第n个数是( ) 9164252n?1 n2 B． C．
2n?12n?1 D．2 3n?2n【解答】1?2?1?132?2?152?3?12n?1n；；；第个数是：故选：B． ???12422932n228111417、1、、、、?按此规律，这列数中第100个数是( 3711139 3 按一定规律排列的一列数依次是
) A．
299 199B．
299 201C．
301 201D．
303 203【解答】由
5811141729923n?1、、、、、、?可得第n个数为．n?100，?第100个数为： 57201311132n?19故选：B．
4 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11
根小棒，?，则第n个图案中有 根小棒．
【解答】第1个图案中有5?1?6根小棒，第2个图案中有2?5?2?1?11根小棒，
第3个图案中有3?5?3?2?16根小棒，?
?第n个图案中有5n?n?(n?1)?5n?1根小棒．故答案为：5n?1．
5 如图是用棋子摆成的“小屋”，按照这样的方式摆下去，第6个这样的“小屋”需要 枚棋子．
【解答】第1个“小屋”，下边正方形棋子4?2?4?4，上边1枚，共4?1?5，
第2个“小屋”，下边正方形棋子4?3?4?8，上边3枚，共8?3?11， 第3个“小屋”，下边正方形棋子4?4?4?12，上边5枚，共12?5?17，?，
第n个“小屋”，下边正方形棋子4?(n?1)?4?4n，上边2n?1枚，共4n?2n?1?6n?1， 当n?6时，6n?1?6?6?1?35．故答案为：35．
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6 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子
枚．（用含n的代数式表示）
【解答】第一个图需棋子3?1?4；第二个图需棋子3?2?1?7；第三个图需棋子3?3?1?10；?
第n个图需棋子(3n?1)枚．故答案为：(3n?1)．
7 如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1）、（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，
按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，最下面一层小正方体木块总数应是 ．
【解答】观察图形知：第1个图形中最下面一层的小正方体的个数为1?1?4(1?1)个；
第2个图形中最下面一层的小正方体的个数为5?1?4(2?1)个； 第3个图形中最下面一层的小正方体的个数为9?1?4(3?1)个；?
第n个图形中最下面一层的小正方体的个数为1?4(n?1)?(4n?3)个；故答案为：4n?3
8 下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中★的个数为 ．(n为正整数）
【解答】第一个图形有1?3?3个，第二个图形有2?3?6个，第三个图形有3?3?9个，第四个图形有4?3?12
个，?，?第n个图形共有：n?3?3n．故答案为：3n．
9 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五
角星 个．