loading必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换
考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：
所有与角?终边相同的角，连同角?在内可以构成一个集合：{β|β= k·360 °+α,k∈Z } 2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合为{α| k·360 °<α 第二象限角的集合为{α| k·360 °+90 °<α （1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k·360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角 （2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k·180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 （3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k·90 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 例： 终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k·360 °+270 °,k∈Z } 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k·180 °+135 °,k∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k·90 °+45 °,k∈Z } 易错提醒： 区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化 180???，1???180??57.3? ，1弧度?180?2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法） n?R??R, 其中?为弧所对圆心角的弧度数 180n?R211 ?lR= R2|?|, 其中?为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：S?2360212 易错提醒：利用S= R|?|求解扇形面积公式时，?为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数 弧长公式：l?2 1 规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧 考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义 设?是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P?x,y?，那么sin??y，cos??x，tan??y（r?|OP|?rrx化简为sin??y,cos??x,tan??2.三角函数值符号 ；x2?y2）y. x 规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值 除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线 y ?终边 P T ?终边 y P O M A x 正弦线 M O T A x y P M O T 余弦线 正切线 y M O A x A x P T ?终边 ?终边 P 2 经典结论： (1)若x?(0,(2)若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx )，则1?sinx?cosx?2 2(3)|sinx|?|cosx|?1 例： 11 在单位圆中分别画出满足sinα＝、cosα＝、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合 22考点四 三角函数图像与性质 性 函 数 ?质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ???xx?k??,k???? 2??值域 ??1,1? 当x?2k????k???时，ymax?1； 2??1,1? 当x?2k??k???时，ymax?1；R 最值 2既无最大值也无最小值 min当x?2k????k???时，y周期性 奇偶性 在?单调性 ??1． 当x?2k????k???时，ymin??1． 2? 奇函数 ???2k??,2k????k????22???3??2k??,2k????22??2? 偶函数 ??? 奇函数 ?2?上是增函数； 在?2k???,2k???k???上是增函数； 在???? k??,k??2在??k???上是减函在?2k?,2k?????k???上是减函数． 对称中心?k???,0???2??k?????k???上是增函数． 对称中心?k?,0??k??? ??2??数． 对称中心?k?,0??k??? 对称性 对称轴x?k?? ?2?k??? 对称轴x?k??k??? 无对称轴 考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质 1.解析式求法 （1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法 字母 A 确定途径 由最值确定 说明 最大值－最小值A＝ 23 B ω φ 由最值确定 最大值＋最小值B＝ 2相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期 可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定 由函数的周期确定 由图象上的特殊点确定 A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路： 代入图像的确定点的坐标.如带入最高点(x1,y1)或最低点坐标(x2,y2)，则?x1????2?2k?(k?Z)或 ?x2???3??2k?(k?Z)，求?值． 2易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60 ②ω求解思路： 利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。 0 0 易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等. 例： “两域”： (1) 定义域 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域. b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例： 1.y=asinx+bsinx+c 22 2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d) 4 2 4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性 ππ ①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由 22π 2kπ+<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得; 2 ②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得; ππ ③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ 22规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧． (2)对称性 π ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得; 2π ②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得; 2③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (3)奇偶性 π ①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ＋(k2∈Z)； ②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ＋∈Z)； kπ ③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝(k∈Z)． 2规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (4)周期性 2π 函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝， |ω|y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝ 考点六 常见公式 常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系 π. |ω| π (k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ(k2 sin2??cos2??1；tan?= sin? cos?5