loading《高等数学基础》形成性考核册
第三次作业参考答案
第四章 导数的应用
一、单项选择题
1、D 2、D 3、A 4、C 5、C 6、A
二、填空题
1、极小值 2、0 3、(??,0) 4、(0,??) 5、f(a) 6、(0,2)
三、计算题
1、求函数y?(x?1)(x?5)2的单调区间和极值。
解：函数的定义域是(??,??)。
求导：
令y??(x?5)(3x?3)?0，得x?5或x?1； 令y??(x?5)(3x?3)?0，得1?x?5；
因此，单调上升区间为(??,1)何(5,??)，单调下降区间为(1,5)。
2、求函数y?x2?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值。
解：求导数：
令y??2x?2?0，得驻点为x?0； 求二阶导数：
因此，x?0为函数的极小值点。函数没有极大值点。 计算并比较函数值：
可见，最大值是f(3)?6，最小值是f(1)?2。
3、求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短。
解：设曲线上点坐标为(x,y)，它到点A(2,0)的距离为
求导数：d??12x?2x?42?(2x?2)?x?1x?2x?42
令d??x?1x?2x?42?0，得唯一驻点是x?1。根据问题的实际背景可知这是所求的点的横坐标。代
入曲线方程，可得y??2。所以，所求的点为(1,2)何(1,?2)。
4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如右图所示，设底面半径为r，高为h，体积为V。则上底中心到下底边沿的距离为
计算体积：
令V???L?3?h?0，求得唯一驻点为h?时，
所以，当底面半径为
223L。根据问题的实际意义可知，这个值即为所求。此33L6L，高为时体积最大。 335、一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：如右图所示，设圆柱体的底面半径为r，高为h，表面积
根据条件知该圆柱体的体积为V为y。
：
V2?表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此 令V??4??r?2V?0，得唯一驻点为r?32r?。根据问题的实际
意义知驻点即为所求结果。代入可求得h?3所以，底面半径为3V2?4V。
小。
，高为34V?时圆柱体的表面积最
6、欲做一个底为正方形，容积为立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底面边长为x米，高为
2y米，表面积为S平方米。
根据条件，体积：x?y?62.5。 表面积等于底面面积加四个侧面面积： 令S??2x?250?0，求得唯一驻点为x?5（米），根据问题的实际意义可知，这就是所求的底面2x边长。此时，y?2.5（米）。
所以，底面边长为5米，高2.5米时用料最省。
四、证明题
1、当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)
证明：令f(x)?x?ln(1?x)(x?0)，则f(x)在[0,??)上连续，在(0,??)内可导。
由于
因此，函数f(x)在[0,??)上是单调上升的，即当x?0时有 所以命题成立。
2、当x?0时，证明不等式ex?x?1。
证明：令f(x)?e?x?1(x?0)，则f(x)在[0,??)上连续，在(0,??)内可导。
由于
因此，函数f(x)在[0,??)上是单调上升的，即当x?0时有 所以命题成立。
x