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第五章 机构运动学分析
本章学习任务：基于速度瞬心法的机构速度分析，基于矢量方程图解法的平面机构运动分析，基于解析法的平面机构运动分析。
驱动项目的任务安排：项目中机构的运动分析，采用 Matlab 编程计算。
5.3 基于矢量方程图解法的平面机构运动分析
构件的平面平行运动可视为构件上任一点（称为基点）的牵连移动和该构件绕基点的相对转动所组成；牵连移动的速度和加速度等于所选基点的速度和加速度，绕基点的相对转动角速度和角加速度等于该构件的角速度和角加速度。根据这一相对运动原理可列出构件上任一点的矢量方程，然后按一定比例画出相应的矢量多边形，由此解出机构上各点的速度和加速度以及各构件的角速度和角加速度。根据不同的相对运动情况，机构的运动分析可按以下两类讨论。
5.3.1 同一构件上两点间的速度和加速度关系
如图 5-7（a）所示铰链四杆机构，已知各构件的长度和原动件 1 的角速度 ω1 和角加速度 α1 的大小和方向以及原动件的瞬时位置角1 ，现求图示位置中的点 C、E 的速度vC 、vE和加速度aC 、aE ，以及构件 2、3 的角速度2 、3 和角加速度2 、3 。
p'
b
2
2
C 3
3
e''' c' 3 D
c'''
e' b'' e'' b'
B
1
2
E
1
1
1
A
e
c
p
c''
（a）
（b）
（c）
图 5-7 铰链四杆机构速度和加速度分析
首先按已知条件，并选定适当的长度比例尺 μl，作出该瞬时位置的机构运动简图，然后再进行机构的速度分析和加速度分析。
（1） 速度分析。根据相对运动原理，连杆 2 上点 C 的速度vC 应是基点 B 的速度vB 和
点 C 相对点 B 的相对速度vCB 的矢量和，如式（5-1）所示。
vC
＝
vB
+
vCB
（5-1）
方向 大小
⊥CD ？ ⊥AB ⊥CB ω1lAB ？
式（5-1）为一矢量方程式，仅有vC 和 vCB 的大小未知，故可根据上式，作矢量多边形 求解。为此，取速度比例尺(
m / s
) ，然后作速度多边形（如图 5-7（b）所示），即首先从 v
mm
????????????
点p 作 pb 代表vB , pb 的长度按速度比例尺μν计算出， pb 的方向垂直AB；然后通过p 作νC
??? ????
的方向线，通过 b 作 vCB 的方向线，得交点 C，则矢量 pb 和bc 分别代表 vC 和 vCB ，其大小 可按速度比例尺算出为
vC ? v ? pc 及vB ? v ? bc
当点 C 的速度vC 求得后，可利用式（5-2）求得点 E 的速度vE 。
vE
＝
vC + vEC ⊥CE ？
＝
vB
+
vEB
（5-2）
方向 大小
？ ？
⊥CD μν·pc ⊥AB ⊥BE
ω1lAB ？
式（5-2）中只有 vEC 、 vEB 的大小未知，故可用图解法求出。如图 5-7（b）所示，因
vC 、vB 已作出，故只要过点 b 作vEB 的方向线，过点 c 作vEC 的方向线得交点 e，并连接 p、
????
e，即可求得代表vE 的矢量 pe ，于是可得到vE ? v ? pe 。
对照图 5-7（a）和 5-7（b）可以看出，在速度多边形与机构图中，bc⊥BC、ce⊥CE、be⊥BE，故?bce ~ ?BCE ，且两三角形顶点字符排列顺序相同，一般称图形 bce 为图形 BCE 的速度影像。故当已知一构件上两点的速度时，则可利用速度影像与构件位置图相似原理求 出构件上其他任一点的速度。但必须注意：速度影像的相似原理只能应用于同一构件上的各 点，而不能应用于机构的不同构件上的各点。
在速度多边形中，点 p 称为极点，它代表该构件上速度为零的点；故连接 p 与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的绝对速度，其指向是从 p 指向该点；而连接其他任意两点的矢量便代表该两点在机构图中同名点间的相对速度，其指向恰与速度的下标相反。例
????
如，矢量bc 代表vCB 而不是vBC 。
C
3
3
求得绝对速度v 后，很容易求得 ，其大小为 ? C ? vpc
；转向可根据v 的指向
l CD
v
l CD
C
与
3
转动方向相协调的原则确定为逆时针转向。类似地，根据vCB 的指向，可确定
vCB
? 2
为顺
时针转向，其大小为 ?
2 l CB
bc
。 v lCB
（2） 加速度分析。根据刚体运动的加速度合成定理，连杆 2 上的点 B、C 的加速度矢
量满足矢量方程式（5-3），进一步可以表达成式（5-4）。
aC
n
a C
t
+ a C
＝ ＝
a n B B→A l
AB 1 2
aB
+
n
+ a CB
aCB
（5-3）
+
t
a B
+
t
a CB
（5-4）
方向 大小
C→D vC 2
lCD
⊥CD ？
⊥AB
l AB 1
C→B vCB 2 lCB
⊥CB ？
式中只有 at 和 at 的大小未知。根据式（5-4），画出加速度矢量多边形求解如图 5-7
C CB ??? ?? ????? ????? m / s n
（c）。取加速度比例尺( v ) ，从任意点 p? 连续作矢量p 'b '' 、 和分别代表a、 b 'c '' b ''b ' bmm
???????
at 和an ；又从 p? 作 p 'c ''' 代表 an ，然后作c '''c ' 垂直于 CD，作c ''c ' 垂直于 CB，则c '''c ' 与c ''c '
C b CB
????????????????????????
????????????
交于点c ' 得到矢量c '''c ' c ''c ' 分别代表at 、at ；再连 p 'b ' 、 p 'c ' ，则矢量 p 'b ' 、 p 'c ' 分
C CB ， 别代表aB 、aC ，这些量的大小均按比例尺 μa 计算得到。
当点 C 的加速度求得以后，即可根据方程式（5-5）求出点 E 的加速度：
aE
=
aB
+
n a EB t
+ a EB
=
aC
+
n
a EC
+
t
a EC
（5-5）
方向 大小
a
p? → b?
p 'b '
E→B
2
2 BE
⊥EB ？
a
p? → c?
p 'c
E→C
2 2 CE
⊥EC ？
l l
t t ，就可求得a 。为此，继续在原加速度矢量多边 从式（5-5）看到，如果知道aEB 、 EC aE
???????????
nn
形的基础上作图求解。自点b? 作b 'e '' 代表aEB ，从点c? 作c?e ? 代表a EC ，然后分别从点e ? 作
??????
t t
的方向线，从点e ? 作a的方向线，此二方向线交于点e? ，连接 p?e? ，则矢量 p 'e ' 即表 a EB EC
??????
示aE ，其大小 aE ? a ? p 'e ' 。
由加速度多边形可见
aCB ??(an )2 ? (at CB 类似可得 所以 CB 2 2
)2 ??(l )2
CB 2 )? (l BC 2
? lBC ?2 2 4 2
?
2 2
aEB ? lEB 2 2 ?2 2 , aEC ? lEC
4 2 aCB : aEB : aEC ? lBC : lEB : lEC b 'c ' : b 'e ' : c 'e ' ? BC : EB : EC
即 由此可见， ?b?c?e? 与机构位置图中的?BCE 相似，且两三角形顶点字母顺序方向一致， 图形b?c?e? 称为图形 BCE 的加速度影像。当已知一构件上两点的加速度时，利用加速度影像便能很容易地求出该构件上其他任一点的加速度。必须注意：与速度影像一样，加速度的相似原理只能应用于机构中同一构件上的各点，而不能应用于不同构件上的点。
由图 5-7（c）可知，加速度多边形也有如下特点：1）在加速度多边形中，点 p? 称为极点，代表该构件上加速度为零的点；2）连接 p? 和任一点的向量便代表该点在机构图中的同 名点的绝对加速度，其指向从 p? 指向该点；3）连接b? 、c? 、e? 中任意两点的向量，便代表 该两点在机构图中的同名点间的相对加速度，其指向与加速度的下角标相反。例如矢量b 'c '
?? ???
??????
代表 aCB 而不是 aBC；4）代表法向加速度和切向加速度的矢量都用虚线表示。例如矢量b 'c '' ??????
t
和 CB 和c ''c ' 分别代表an 。 CB a
连杆和摇杆的角加速度可分别求出为：
at ? c ?c? at ? c ?c?? CB a C a ?? ??2 3
lCB lCB ， lCD lCD
将代表at 的向量c ''c ' 平移到机构图上的点 C，可见 的方向为逆时针方向；将代表at
??????
的矢量c '''c ' 平移到机构图上的点 C，可知3 的方向也为逆时针方向。
CB 2 ??????
C
例 5-4 如图 5-8 （ a） 所示的摇动筛机构简图， 已知 n1 ? 600 r/min ， lAB ? 200 mm,
lDE ? 600 mm， lDG ? 460 mm， lEF ? 500 mm， xG ? 2200 mm， yG ? 550 mm， xF ? 1100 mm，
e'
y ? 600 mm， H 是 DE 的中点， l ? 400 mm,试求?xAB ? 30? 时的v ， v D ， a ， a 。 F CH E E D
y F
4
B
2
C
（a）
P36
E
3
H
5 6
A
6
1 n1
x
c' e
c p' b' d''
c''
c'''
b
p d e''
d'
（c）
图 5-8 摇动筛机构简图
（b）
解：（1）速度分析
如图 5-8（a）所示， BC 杆做平面运动，对于C 的速度，列出如下速度矢量方程。由三心定理，可知构件 3 的绝对瞬心在点 P36 ，则该矢量方程中vC 方向垂直于 P36C 。
vC
＝
vB
+
vCB
方向 ⊥P36C 大小
1
⊥AB ω1lAB
⊥CB
？
？
? 600 ? 3.14 / 60 ? 62.8 rad/s ，绘制速度矢量多边形如图 5-8（b）所示，通过图解，可
以求得3 ? 245.21 rad/s ，2 ? 24.52 rad/s ，进而根据速度影像相似原理得到vE ? 79.69 m/s ， vD ? 38.5 m/s 。
（2）加速度分析
列出如下的加速度矢量方程。
aC
n a C
t
+ a C
＝ ＝
a n B
+
aB
t
a B
+
n
+ a CB
aCB
+
t
a CB
方向 C→P36C ⊥P36C
2
？ 大小 l
3 CP36
2 CB
0
如图5-8（c），对上述加速度矢量方程进行图解，求得 a ? 35485.5 m/s2， at ? 34443 m/s2，
AB 1 C
C
B→A
l 2
⊥AB
C→B 2l ⊥CB ？
3
? 242556.34 rad/s2 ， 这 样 就 可 以 知 道
D
2 at ? 78830.81 m/s2 ， an
E ? 19541.58 m/s， E
E
at ? 5407.55 m/s2， an ? 9440.09 m/s2，根据加速度多边形的原理得到 a ? 81216.81m/s2，
D
aD = 10879.2 m/s2。
5.3.2 两构件组成移动副的重合点间的速度和加速度关系
如图 5-9（a）所示的导杆机构中，已知机构的位置、各构件的长度及曲柄 1 的等角速度
1
，现在来分析导杆 3 的角速度和角加速度。
首先按选定的比例尺 μl 画出机构位置图，然后按运动学原理求解。 （）1 ） 确定构件 3 的角速度。因为点 B 是构件 1 上的点， 也是构件 2 上的点，
故 vB 2 ? vB1 ? 1 ? lAB ； 构件 2 、3 组成移动副， 其角速度应相同， 即2 ? 3 ； 但应注意， vB3 ? vB1 ， vB3 ? vB 2 ，1 ? 2 ，1 ? 3 。这就是该机构组成的运动关系，一定要首先予以理 解。
根据以上分析，并由理论运动学知识可知，导杆上的点 B3 的绝对速度与其在滑块上的重合点 B2 的绝对速度之间有下列关系方程
vB3
= ？
vB 2
+
vB3B 2
（5-6）
方向 ⊥BC 大小
⊥AB
1AB
∥CB ？
l式中仅vB3 和vB3B 2 的大小未知，故可用图解法求解。取定比例尺 μv 和极点 p，根据上式， 可画出矢量多边形，如图 5-9（b）所示。由此图可知， vB3B 2 ? v ? b2b3 , vB3 ? v ? pb3 ，其指 向如图所示。于是可求得构件 3 的角速度为2 ? vB3 / lB3C ? v ? pb3 / lB3C 。
?????
将代表v3 的矢量 pb3 平移到机构图上的点 B，可知v3 的方向为顺时针方向。
B
1
2
b1(b2)
| 1? A k'
p'
3 p b3
b3
'
'' b' (b' )
1 2
C b3 4
（a） （b） （c）
图 5-9 两构件组成重合点
（）2 确定导杆 3 的角加速度3 。由理论力学、运动学可知，点 B3 的绝对加速度与其
重合点 B2 的绝对加速度之间的关系为