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第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1．证明：若微分方程xy???y??xy?0有多项式解
y?a0?a1x?a2x2???anxn，
则必有ai?0(i?1,2,?,n)．
2n证明 由多项式解y?a0?a1x?a2x???anx得
y??a1?2a2x?3a3x2???nanxn?1， y???2a2?6a3x?12a4x2???n(n?1)anxn?2.
23n?1从而 xy???2a2x?6a3x?12a4x???n(n?1)anx， 23n?1nn?1且 xy?a0x?a1x?a2x???an?2x?an?1x?anx.
将上述结果代入微分方程xy???y??xy?0，得
a1?(a0?4a2)x?(a1?9a3)x2?(a2?16a4)x3
???(an?2?n2an)xn?1?an?1xn?anxn?1?0.
比较系数得递推公式如下：
?a1?0,??a0?4a2?0,?a1?9a3?0,? ????a?n2a?0,n?n?2?an?1?0,??an?0.由此解得a0?a1?a2???an?0，因而ai?0(i?0,1,2,?,n)．
2．试确定系数a0,a1,?,an,?，使
?an?0?nxn满足勒让德方程
(1?x2)y???2xy??l(l?1)y?0.
解 设y??an?0?nx，则y???nanxnn?1?n?1，y????n(n?1)an?2?nxn?2，故
..
.
(1?x)y???(1?x)?n(n?1)anx22n?2??n?2??n(n?1)anxn?2n?1??n?2??n(n?1)anxn，
n?2??2xy???2x?nanxn?1????2nanxn，
n?1?l(l?1)y?l(l?1)?anx??l(l?1)anxn.
nn?0n?0将上述结果代入勒让德方程(1?x)y???2xy??l(l?1)y?0，得
20?(1?x2)y???2xy??l(l?1)y
??n(n?1)anxn?2??n?2??n(n?1)anx??2nanx??l(l?1)anxn
nnn?2n?1n?0n?n?n??????(n?2)(n?1)an?2x??n(n?1)anx??2nanx??l(l?1)anxn.
n?0n?2n?1n?0比较系数，得递推公式如下：
?l(l?1)a0?2a2?0,?(l?1)(l?2)a?6a?0,13??(l?2)(l?3)a2?12a4?0,? ????(l?(n?1))(l?n)a?(n?1)na?0,n?1n?1??(l?n)(l?n?1)an?(n?2)(n?1)an?2?0,????.由此解得
..
.
l(l?1)?a??a0,?22??a??(l?2)(l?3)a?(l?2)l(l?1)(l?3)a,20?44?34?3?2?????k(l?2k?2)(l?2k?4)?l(l?1)(l?3)?(l?2k?1)a?(?1)a0,?2k(2k)!???????a??(l?1)(l?2)a,1?33?2?(l?3)(l?4)(l?3)(l?1)(l?2)(l?4)?a5??a3?a1,5?45?4?3?2?????k(l?2k?1)(l?2k?3)?(l?1)(l?2)(l?4)?(l?2k)?a?(?1)a1,?2k?1(2k?1)!?? ???从而可以得到
??(l?2k?2)(l?2k?4)?l(l?1)?(l?2k?1)2k?y?a0?a0??(?1)kx?
(2k)!?k?1???(l?2k?1)(l?2k?3)?(l?1)(l?2)?(l?2k)2k?1??a1x?a1??(?1)kx?.
(2k?1)!?k?1?其中a0,a1取任何常数．
§2 数项级数的收敛性及其基本性质
1．求下列级数的和： （1）
1； ?(5n?4)(5n?1)n?1?（2）
?4nn?1??12?1；
(?1)n?1（3）?； n?12n?1（4）
2n?1； ?n2n?1?（5）
?rn?1?nsinnx,r?1；
..