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杨氏双缝干涉的MATLAB仿真
摘要：根据杨氏双缝干涉实验理论，构建数学模型，基于MATLAB平台设计和开发模拟软件，模拟出可见光范围内任意波长单色光的杨氏双缝干涉图像，同步绘制出光强分布曲线，并借助图像形象直观地解释了干涉条纹间距与波长的关系，使课堂教学过程由枯燥变生动，帮助学习者更好地认识和理解光的干涉现象及其理论。
关键词：杨氏双缝干涉; MATLAB; 光强分布; 计算机仿真 1 引言
众所周知,光学实验对仪器的稳定性要求很高,实验平台要求防震,对于复杂光路的搭建和实验仪器的调试非常耗费时间,而且环境的温度、湿度都对实验效果有一定影响，并且由于仪器和场所的限制，一些实验无法完成，这就为理论研究带来了困难。例如在中学物理课堂教学中，光学现象（如“光的干涉”）只有通过极为细心的观察才能把握，经过认真的分析才能理解，然而对于观察能力还不够强的学生来说，是件很困难的事情。若能对这些光学实验现象进行模拟，适当延长过程的时间，让学生有比较充裕的时间对实验现象进行观察和分析，就能帮助学生加深对物理现象和规律的理解，掌握物理现象的本质，从而提高教学效果。
计算机软硬件技术的不断提高，计算机图形学和图像处理的飞速发展，使可视化仿真的多媒体技术日趋成熟。Mathworks 公司于1984年推出了一套高性能的数值计算和可视化仿真软件——“MATLAB” ，该软件提供了简单、高效的编程环境，可以对抽象的物理模型进行仿真。在构建物理模型的前提下，利用MATLAB的计算、声音、图像、动画等功能可以模拟物理现象，诠释物理规律，演示运动过程，并由此构建学生自主探索问题和解决问题的平台。
文献资料显示，许多的教学工作者从不同层面将MATLAB应用于光学课堂教学中，做出了许多的研究成果。例如：有研究者利用MATLAB的图形用户界面与数据处理能力，对热学及力学现象中的布朗运动和简谐振动、光学现象中的单缝衍射、电磁学现象中的等量异种电荷电场线进行可视化仿真，同时拟合处理实验数据[1]；有研究者构建插值函数从而建立可见光波长与MATLAB 色谱矩阵的映射关系，将干涉图样的强度分布变成色谱矩阵,实现杨氏双缝干涉现象的计算机仿真[2]；有研究者基于MATLAB实现了牛顿干涉和光栅衍射现象的仿真 [3]；有研究者利用 MATLAB软件的GUI用户界面交互功能对夫琅和费圆孔衍射现象进行模拟
[4]
；有研究者利用MATLAB对单色光双缝干涉实验现象进行仿真，绘制出不同波
长、不同屏缝间距、不同双缝间距的单色光干涉条纹[5]；有研究者绘制了单色光和非单色光干涉的仿真图像，并同步计算相应的条纹间距及对比度[6]；有研究者
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利用MATLAB模拟仿真单色光杨氏双缝干涉，绘制出单色光强度分布曲线、二维干涉条纹分布及三维强度分布[7]；有研究者用MATLAB语言模拟光照模型、牛顿环干涉条纹和平面光栅衍射现象[8]；有研究者从波动光学和量子物理角度分析杨氏双缝干涉实验，编写MATLAB程序模拟相应的干涉图样，形象展示了光的波粒二象性[9]。
通过对目前计算机仿真光学实验的现状和相关研究的分析，本文将用MATLAB编程对可见光范围内任意波长单色光杨氏双缝干涉实验现象进行仿真，通过自由输入不同实验参数，得到相应的干涉图样和光强分布曲线图，使双缝干涉现象直观化，便于比较不同实验参数对实验的影响。用仿真结果来验证理论分析和实验结果，在课堂教学中借助计算机模拟技术，帮助学生了解和理解所学知识。
2 杨氏双缝干涉的实验原理和数学模型
杨氏双缝干涉实验是利用分波振面法获得相干光束的典型例子，如图 1 所示，在普通单色光光源后放一狭缝S,S后又放有与S平行且等距离的两平行狭缝S1和S2，单色光通过两个狭缝S1和S2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象[10，11]。
图1 杨氏双缝干涉原理图
Figure 1 schematic diagram of Young’s Dual-slit Interference
根据杨氏双缝干涉实验原理图[12]，我们以频率是单值、振幅不随传播距离变化的单色光来建立杨氏双缝干涉现象的数学模型。单色的简谐波，它可用余弦函数来表示。如图1所示，设有两个这样的波，从空间两定点S1和S2发出，振源的振动可用(1)和(2)式来表示：
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E01?A01cos(?t??01) （1） E02?A02cos(?t??02) （2）
式中?01和?02分别为S1和S2两点振动的初相位，此后当两列波同时到达P点时，P点的振动可用(3)和(4)式来表示： E1?A1cos[?(t? E2?A2cos[?(t?r1)??01] （3） v1r2)??02] （4） v2式中r1?S1P，r2?S2P，v1和v2是两波在r1和r2两段路程上的传播速度。两波在P点相遇后，在任意时刻的相位差为：
?r2r1???????????01??02??? ?v2v1?2? ???n2r2?n1r1????01??02? （5）
cc和n2?为两波沿着r1和r2传播时
v2v1式中?为两波在真空中的波长，n1?所经路程上介质的折射率，c为真空中波的传播速度。那么在最简单的情况下（?01??02,n1?n2?n?1）,(5)式简化为： ???从图1可以推导得出：
2???r2?r1? （6）
d r1?(x?)2?D2 （7）
2 r2?(x?d2)?D2 （8） 2在P点从S1和S2发出的光波在该点叠加产生的光强度为：
I?I1?I2?2I1I2cos?? （9）
式中I1和I2分别为两光波在屏幕上的光强度，若实验装置中S1和S2两个小孔大小相等，则有I1?I2?I0，所以：
2???? I?4I0co?s? （10）
?2?从图1可以推导出P点位置x、缝宽d、屏缝距离D、光程差之间的关系为：
r2?r1?不得用于商业用途
dx （11） D仅供个人参考
dx??k?,(k?0,?1,?2?)时当两列光波的光程差为波长的整数倍，即D才会出现亮纹，即亮条纹中心位置为：
x??kD? （12） d相邻两个亮条纹或暗条纹的中心间距是
?x?
3 单色光杨氏双缝干涉实验现象的MATLAB仿真
3.1 仿真程序的设计方案
仿真程序设计方案包括七个方面：实验参数确定、干涉图像的坐标量化、干涉图像中任意点的光强及相对光强计算、单色光波长到干涉图像RGB值的映射、干涉图像色谱矩阵的建立、干涉图像的绘制、光强变化曲线绘制。
第一方面（实验参数确定）：实验参数中单色光波长?、缝宽d、屏缝距离
D由软件使用者从键盘输入，单位统一为米，输入波长时提示波长范围为380nm
D? （13） d至780nm，这是比较普遍认可的人类可见光波长范围；仿真的光屏区域设置为6条干涉条纹的间距，即在光屏上以O点为中心，上下各可以显示某波长单色光3条干涉条纹，条纹间距的计算见公式（13）。
第二方面（干涉图像的坐标量化）：以图1中光屏竖直方向为x轴，将光屏高度分为200等分，共取201个位置pi(i?1...201)，光屏水平方向为y轴，取值范围=[-0.5,0.5]。
第三方面（干涉图像中任意点的光强及相对光强计算[13] [14]）：按照公式（10）计算出光屏上201个位置pi(i?1...201)处的光强Ii，其中I0取为1；考虑到光强会影响干涉条纹的明暗效果，必须将光强值乘到干涉图像的RGB色谱矩阵中去，MATLAB的RGB取值范围必须是[0,1],而实际光强值可能会大于1，直接将光强值乘到干涉图像的RGB色谱矩阵中会导致RGB值超限，为了解决这一问题，在光强值的基础上计算出一个取值范围在[0,1]区间的相对光强值，采用相对光强值来构建干涉图像的RGB色谱矩阵。位置pi(i?1...201 )处的相对光强Iri计算公式为：
Iri?Ii （14）
max(Ii)第四方面（单色光波长到干涉图像RGB值的映射）：不同波长的单色光产生的干涉图像的色彩是不同的，为了较为真实地模拟出干涉图像的色彩，需要建立单色光波长与色彩RGB值（0-255）之间的映射关系。这方面的研究工作没有严
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