loadingL2+x=vt-a1t2
对平板有v'=a2t,x=a2t2 联立解得t=1s,v=4m/s 滑块在传送带上的加速度a3=
=5m/s2
若滑块在传送带上一直加速,则获得的速度 v1=
=5m/s>4m/s
只有v=4m/s符合题意。
(2)v1=5m/s<6m/s,即滑块滑上平板的速度为5m/s
设滑块在平板上运动的时间为t',离开平板时的速度为v″,平板位移为x' 则v″=v1-a1t',L2+x'=v1t'-a1t'2
x'=a2t'2
联立解得t1'=s,t2'=2s(t2'>t,不合题意,舍去)
将t'=s代入v″=v1-a1t'得v″=3.5m/s。
【典例4】(多选)如图甲所示的水平传送带AB逆时针匀速转动,一物块沿曲面从一定高度处由静止开始下滑,以某一初速度从左端滑上传送带,在传送带上由速度传感器记录下物块速度随时间的变化关系如图乙所示(图中取向左为正方向,以物块刚滑上传送带时为计时起点)。已知传送带的速度保持不变,重力加速度取g=10 m/s2。关于物块与传送带间的动摩擦因数μ及物块在传送带上运动第一次回到传送带左端的时间t,下列计算结果正确的是( )。
A.μ=0.4 【答案】BC
【解析】由题图乙可得,物块做匀减速运动的加速度大小a==2.0m/s2,由牛顿第二定律得Ff=ma=μmg,则可得物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2,A项错误,B项正确;在v-t 图象中,图线与t轴所围面积表示物块的位移,则物块经减速、反向加速到与传送带相对静止,最后匀速运动回到传送带左端时,物块的位移为0,由题图乙可得物块在传送带上运动的总时间为4.5s,C项正确,D项错误。
【变式训练4】如图所示,一倾斜传送带与水平面的倾角θ=37°,以v=10 m/s的速率沿逆时针方向匀速运行,M、N为传送带的两个端点,M、N两点间的距离L=5 m,N端有一离传送带很近的弹性挡板P。在传送带上的M处由静止释放一个质量为1 kg的木块(可视为质点),木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5。木块由静止释放后沿传送带向下运动,并与挡板P发生碰撞。已知碰撞时间极短,木块与挡板P碰撞后速度大小为碰撞前的一半。sin 37°=0.6,g取10 m/s2。传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦。
B.μ=0.2 C.t=4.5 s
D.t=3 s
(1)木块被释放后经多长时间与挡板P第二次碰撞? (2)求木块运动的总时间和总路程。 【答案】(1)2s (2)3s
m
【解析】(1)木块由静止释放后,沿传送带向下做匀加速运动,其加速度
a1=gsinθ+μgcosθ=10m/s2
当木块速度为10m/s时,运动距离L0==5m
第一次与P碰撞前的速度恰好与传送带速度相等,经历的时间t0==1s
与挡板P第一次碰撞后,木块以速度v1=5m/s被反弹,沿传送带向上以加速度a2=gsinθ+μgcosθ=10m/s2做匀减速运动直到速度为零
此过程运动的距离L1=
=1.25m
此过程运动的时间t1==0.5s
木块再次下滑至与挡板P碰撞前,此过程运动的时间t2==0.5s
所以,木块被释放后与挡板P第二次碰撞经历的时间t=t0+t1+t2=2s。
(2)木块与挡板P第二次碰撞后,木块以速度v2=2.5m/s被反弹,沿传送带以加速度a2向上运动,直到速度为零
此过程运动的距离L2=
=0.3125m
此过程运动的时间t3==0.25s
以此类推,与挡板P碰撞后木块沿传送带上升的路程为碰撞前下滑的路程的,时间为 木块运动的总时间t=t0+2t1+2t3+…=3s 木块运动的总路程s=L0+2L1+2L3+…=m。
【典例5】如图所示,竖直平面内的光滑四分之一圆弧轨道与水平传送带相切于B点,圆弧轨道的半径为R,传送带的长为2R,传送带上表面离地高也为R,传送带正以速度v=
沿逆时针方向转动,一质量为m的物块在
圆弧轨道的上端A上方某高度处由静止下落,刚好能从A点进入圆弧轨道,若物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度为g,空气阻力不计。
(1)要使物块不能从传送带的右端滑离,物块从A点上方释放的高度应满足什么条件?
(2)若物块滑离传送带后落在地面上的位置离传送带右端C的水平距离为R,则物块在B点时对圆弧轨道的压力为多大?
(3)若物块滑上传送带后刚好不能从传送带右端滑离,则此种情况下,物块在传送带上运动的全过程中,传送带电动机因为物块在传送带上滑动额外做的功为多少?
【答案】(1)只能从圆弧面上释放 (2)mg (3)(
+1)mgR
【解析】(1)设当物块刚好不能从传送带的右端滑离时,物块从A点上方释放的高度为h
根据动能定理mg(R+h)-μmg×2R=0 求得h=0
即要使物块不滑离传送带,物块不能从A点上方任一位置释放,只能从圆弧面上释放。 (2)设物块在C点的速度为vC,则R=vCt,R=gt2
设物块在B点的速度为vB,物块从B到C的过程中,根据动能定理有μmg×2R=m-m
求得vB=
在B点,设圆弧轨道对物块的支持力为F,根据牛顿第二定律有F-mg=m
求得F=mg
根据牛顿第三定律可知,物块在B点时对圆弧轨道的压力F'=F=mg。
(3)如果物块刚好能滑到传送带的右端,则物块到达C端时速度为零,设物块在B点速度为vB',则mvB'2=2μmgR
解得vB'=
与传送带一起匀速运动
然后物块在摩擦力的作用下向左做匀加速运动,速度达到v=
方法一 全过程中,物块动能减少量与电动机额外做的功W之和等于物块与传送带摩擦产生的热量 设Δx1、Δx2分别是物块向右和向左运动过程与皮带的相对位移大小,有 Δx1=vt1+2R=2
R+2R,μg
=2R
Δx2=vt2-a=R,v=μgt2
则有m(2gR-gR)+W=μmg(2R+2R+R)
解得W=(+1)mgR。
+1)mgR。
方法二 电动机额外做的功就等于全过程中皮带克服摩擦力做的功W=μmgv(t1+t2)=(
【变式训练5】如图所示,AB是固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道,末端B处的切线方向水平。一物体P(可视为质点)从圆弧最高点A处由静止释放,滑到B端飞出,落到地面上的C点。测得C点和B点的水平距离OC=L,B点距地面的高度OB=h。现在轨道下方紧贴B端安装一个水平传送带,传送带的右端与B点的距离为。当传送带静止时,让物体P从A处由静止释放,物体P沿轨道滑过B点后又在传送带上滑行并从传送带右端水平飞出,仍落在地面上的C点。
(1)求物体P与传送带间的动摩擦因数。
(2)若在A处给P一个竖直向下的初速度v0,物体P从传送带右端水平飞出,落在地面上的D点,求OD的大小。