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双曲线的简单几何性质
x2y2【知识点1】双曲线a2-b2＝1的简单几何性质
(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2. x2y2b(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±ax，或令双曲线标准方程a2-b2＝1中
的1为零即得渐近线方程. c(5)离心率e＝a＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2. x2y2x2y2(7)共轭双曲线：方程a2-b2＝1与a2-b2＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式. x2y2x2y2注意：（1）与双曲线a2-b2＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为a2-b2＝λ(λ≠0
且λ为待定常数) x2y2x2y2222（2）与椭圆a+b2＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为a??-b??＝1(λ
＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)
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a2（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝c的距离之c比等于常数e＝a(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是
b2双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝c，与椭圆相同.
yx1、写出双曲线方程49?25??1的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程
22 2、已知双曲线的渐近线方程为y??3x，求双曲线的离心率 4 3、求以2x?3y?0为渐近线，且过点p（1,2）的双曲线标准方程 4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。
x2y25、求与双曲线??1共渐近线，且经过A23,?3点的双曲线的标准方及离心率．
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【知识点2】弦长与中点弦问题
（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长
AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?1?1?y2?y1?k2(1?1)?[(y1?y2)2?4y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的2k解题思想. （2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设
22xyA(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆2?2?1（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是abAB；
22b2yx的中点，则；对于双曲线2?2?1（a>0，b>0），类似可得：KABKOM=2aab对于y2=2px（p≠0）抛物线有KAB＝2p；另外，也可以用韦达定理来处理. y1?y2b2KABKOM=?2a【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线x2y2?2?1(a?0,b?0)只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度） 2ab6、若y=kx-1与双曲线x2?y2?4只有一个公共点,求k的范围. 【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】
与右支只有一个公共点？ y27、过双曲线x??1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直
22线有几条？
【题型2】双曲线离心率的求法
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一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆
的离心率e?(0，1)，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1来解决。 8、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率
为________．
9、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________． 二、直接求出a、c，求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e?来解决。 ?x2y210、点P（－3，1）在椭圆2?2?1（a?b?0）的左准线上，过点P且方向为a?(2，?5)abca的光线经直线y??2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】.
A.3 3 B. C.132 2 D. 12三、构造a，c齐次式，解出e：根据题设条件关系式，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。
x2y211、已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0，b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角
ab形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【】.
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