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一、选择题
1．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)1
与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
13
解析：∵y＝f(x)＝－3x＋81x－234，∴y′＝－x2＋81. 令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)． 当0
2．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( )
1515
A．有最大值2 B．有最大值－2 1515
C．有最小值2 D．有最小值－2
解析：由f(x)在[－1,2]上是减函数，知f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，则
??f′?－1?＝3－2b＋c≤015??15＋2b＋2c≤0?b＋c≤－2. ?f′?2?＝12＋4b＋c≤0?
答案：B
3．若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1 C．0 解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若11 a≤0，显然有f′(x)<0；若a>0，由f′(x)≤0得－≤x≤，于是 aa1 ≥1，∴0 答案：B 11 4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝3x3＋2|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为( ) ππ A．[0，6) B．(6，π] ππ2πC．(3，π] D．(3，3] 解析：∵f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，∴f′(x)＝0的Δ＝|a|2－4a·b>0，|a|2 4a·b1 cos 〈a，b〉＝<＝.又y＝cos θ在(0，π)上是递减的，∴〈a， |a||b||a|2 |a|·2π b〉∈(3，π]． 答案：C 5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值则( ) A．b>0 B．0 C．b<1 D．b<2 解析：f′(x)＝3x2－3b，若该函数在(0,1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0 答案：B 6．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是( ) 2 A．(0，2) B．(0,1) 2 C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－a或x2＝a， ∴f(x)在(－∞，－a)内递增，在(－a，a)内递减，在(a，＋∞)内递增， ∴极大值f(－a)＝a(2a2＋1)>0， 极小值f(a)＝a(1－2a2)<0， 2∴a>2. 答案：C 二、填空题 7．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________． 解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2， f′(2)＝0?c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4， 22 令f′(x)>0?x<3或x>2，f′(x)<0?3 22 故函数在(－∞，＋∞)上单调递增，在(3，2)上单调递减，3)及(2，∴x＝2是极小值点．故c＝2不合题意，c＝6. 答案：6 8．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1时，有极大值，在x＝3时，有极小值，则a＝________，b＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由已知，得x＝－1，x＝3是f′(x)＝0的根． 2a?－?3＝－1＋3∴?b??3＝?－1?×3答案：－3 －9 13 9．若函数f(x)＝3x－x在(a,10－a2)内有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝±1. 易知，f(x)在(－∞，－1)递增，(－1,1)递减，(1，＋∞)递增． ∴1∈(a,10－a2)，且f(a)≥f(1)， ??a＝－3 ，∴?. ?b＝－9? ?10－a>1 ∴?12?3a－a≥－3 23 a<1 a<1?? ，∴?－3 ???a－1??a2＋a－2?≥0 . 解得－2≤a<1. 答案：[－2,1) 10．设f(x)是R上的奇函数，在(－∞，0)上存x·f′(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是________． 解析：当x∈(－∞，0)时，由xf′(x)<0可知f′(x)>0，故函数在(－∞，0)内单调递增，再根据奇函数的性质可知f(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且f(2)＝－f(－2)＝0.若x<0，则不等式可化为f(x)>0＝f(－