loading8.3 简单几何体的表面积与体积
第2课时 球的表面积与体积
课后训练巩固提升
1.把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径为( ) A.3 cm
B.6 cm
C.8 cm
4π
4π
D.12 cm
4π
4π
解析:设大铁球的半径为Rcm,由3R3=3·63+3·83+3·103,得R3=1728,检验知R=12. 答案:D 2.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为( ) A. 38π
B.
32π3
C.8π D.
8√2π3
解析:设球的半径为R,则截面圆的半径为√??2-1,那么截面圆的面积为S=π(√??2-1)2=(R2-1)π=π,解得R2=2,故球的表面积S=4πR2=8π. 答案:C 3.木星的体积约是地球体积的240√30倍,则它的表面积约是地球表面积的( ) A.60倍 C.120倍 答案:C 4.用平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为( ) A.√6π
B.4√3π
C.4√6π
D.6√3π
解析:利用截面圆的性质先求得球的半径长.
如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,则OO'=√2,O'M=1,
B.60√30倍 D.120√30倍
∴OM=√(√2)2+1=√3,即球的半径为√3, ∴V=3π(√3)3=4√3π.
答案:B 5.在《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为π.后人导出了“牟合方盖”的8体积计算公式,即8V牟=r3-V方盖差,r为球的半径,也即正方形的棱长均为2r,从而计算出V球=3πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差,则
??方盖差??正
4
4
1
1
4
=( )
A.
21
B. D.√3 1
1
4
4
1
√22
C.√2
解析:由题意,V方盖差=r3-8V牟=r3-8×π×3×π×r3=3r3,
√2??√2所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=3×r×r×√??2-(2)=6r3,所以
1
2??方盖差??正
=
13??3√2??36
=√2,
故选C. 答案:C 6.圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了 cm,则这个铁球的表面积为 cm2.
35
解析:设该铁球的半径为rcm,则由题意得3πr3=π×102×3,解得r3=53,∴r=5,∴这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm2). 答案:100π
7.两球表面积之差为48π,大圆(过球心的截面)周长之和为12π,则两球直径之差为 . 解析:设两球半径分别为R,r,则4πR2-4πr2=48π,且2πR+2πr=12π,
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∴R2-r2=12,R+r=6, ∴R-r=2,2R-2r=4.
答案:4 8.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
解析:设球的半径为rcm,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r, 则有πr2·6r=8πr2+3·πr3, 3即2r=8,∴r=4. 答案:4 9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
4
解:该组合体的表面积
S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=
3
3
4
4
13π3
.
10.有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后水面高多少? 解:如图,当球在容器内时,水面高度PC=3r,AC=√3r,
则V水=V圆锥-V球 =3π(√3r)2·3r-3πr3 =πr3,
351
4
球取走后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h. 则V
2
1√3?·h=πh3,可得)水=π(339
1
√33
h=√15r.
3
11.阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是:图中的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球.在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的3,球的表面积也是圆柱全面积的3.请你试着证明.
2
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证明:设圆的半径为R,球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱,球的表面积与圆柱的全面积分别为S球和S柱,则有V球=3πR3,V柱=πR2·2R=2πR3,故V球=3V柱. S柱=2πR·2R+2πR2=6πR2,S球=4πR2=S柱.
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