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117解析光在圆中的折射问题
■张德胜
光在圆中的折射问题在几何光学中占有非常重要的地位，这类问题总是以透明实心介质球或空心介质球或圆柱体等介质形体为光学器材背景。当光线从真空或空气到达这种介质表面，经第一次折射进入介质球后，往往要发生一系列的折射与反射（有时是全反射），最后射出介质。此类问题的求解除了涉及几何光学中光的反射定律、光的折射定律和光的全反射知识外，还会更多的联系到几何中关于圆的知识，如圆心角与圆周角及弦切角的关系、切线与法线（半径）的关系等。兹以实例说明之。
题例1：一般问题如图1（a）所示为某种透明介质制成的圆柱体，其折射率为2。一细光束以α＝45°的入射角射入圆
柱体。
（1）它从圆柱体中射出时，出射光线对原入射方向的偏向角多大？
（2）作出光线在圆柱体中从入射到出射全过程的光路图。
α
αrr1
3r2r4
β
图1（a）图1（b）
解析：（1）对光的入射过程，由折射定律得：
sinα/sinrα=45°n=2因之r1=n，r1=30°，由几何关系知：r1=r2=30°故
3=α在出射过程，-r1=15°
由折射定律有：sinβ/sinr2=n=2，
β=45°，由几何关系知：
r所以出射光线对原入射方向的偏向角：
4=β-r3=30°δ=r（2）光线在圆柱体中从入射到出射全过程的光路如图3+r4=45°1b）所示。
点评：本题将光在圆中最一般的折射问题聚焦在光在圆中折射时所出现的界面（圆的切线）与法线（半径）的关系、圆心角与圆周角关系及用偏向角的概念的计算问题上，是光在圆形介质中折射的基础问题。
题例2：夜视路标
为提醒司机注意，山区盘山公路的路
面边上一般都要等间距地镶嵌一些小玻璃球，如图2（a）。夜间行驶的汽车车灯照上后显得非常醒目。若小玻璃球的半径为R，折射率为n=3，今有一束平行光沿直线AB方向照在小玻璃球上，试求离AB多远的入射光经折射一反射一折射，再射出小玻璃球后沿原方向返回即实现“逆向反射”。
θ1C
A
O
B
dAθ1
θO2
B
D
图2（a）
图2（b）解析：据题意作光路图的如图2（b）所示，设入射点C对应的入射角为θ1，折射角为θ2，则有：sinθ1/sinθ2=n，玻璃小球出射光线与入射光线平行的条件是：
θ1＝2θ2，所以n=sin2θ2/sinθ2＝2cosθ2＝3，得θ2＝30°。因此，间距d=Rsinθ1＝Rsin2θ2=3R/2，即为所求。点评：本题是以日常生活中的道路交通安全为背景的一道物理试题，该题考察了学生关于几何光学中光的反射、光的折射定律及其几何计算问题。题目立意新、具有创新性、灵活度高，考察了学生的学习能力。
题例3：霓虹现象
雨过天晴，人们常看到天空中出现彩
虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象.在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路。一细束光线射入水珠，水珠可视为一个半径为R的球，球心O到入射光线的垂直距离为d，水的折射率为n。
（1）在图3（a）上画出该束光线射入水珠内经一次反射后又从水珠射出的光路图；
（2）求这束光线从射向水珠到射出水珠每一次偏转的角度。
i
i
δ1
RrrO
Or
rrOr
rrδ2
iδ3i图3（a）
图3（b）
图3（c）
解析：（1）根据光的可逆性和几何知识可知，此光路以法线OQ对称，其光路图如图3（b）所示。
（2）由折射定律知：n=sini以δsinr①
1δ2δ3表示每一次偏转的角度，如图3（c）所示。由反射、
折射定律及几何关系知：sini=d
2r④δR②δ1=i-r③δ2=π-3=i-r⑤
由上述各式得：δ1=sin-1dR－sin-1nR
d、
δ2=π-2sin-1ddnR、δ3=sin-1R－sin
-1nR
d点评：本题以霓虹现象为背景材料，考查光在水珠这种球状介质中的折射、反射，属于光的折射、反射知识的综合应用。依据题设条件，正确作出光路图，并应用数学知识来求解是解答本题的关键。但学生却往往因为作不出光路图或找不出几何关系，使解题陷入困境。
结语：总之，与球状介质有关的光学习题异彩纷呈，它们既涉及几何光学中光的反射与折射定律及光的全反射知识，又联系到丰富的关于圆的几何知识，熟练掌握光的传播规律及关于
圆的几何知识，实现对二者的有机结合，是求解这类问题的关键。
（作者单位：河北省平泉县回民中学）
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